Az előző bejegyzésben szó volt arról, hogy az ember szellemi megismerése az érzékszervek adataiból indul ki. Az anyagot megformáló, érthető formát az értelem kiemeli az anyagi környezetből és ez a forma mintegy külön (de nem független) életet él az emberi értelemben. Így értelmezendő az a tomista “szállóige”, amely szerint az értelem szinte minden lehet, mert ez befogadhatja azokat a formákat, amelyek az anyagi világban kizárólagosan formálják meg az anyagot. Egyszerre valami nem lehet ember is, meg fa is, kék is meg nem kék is. Az értelemben azonban az anyagi világban ugyanakkor, ugyanazon a helyen egymást kizáró formák egymás mellett, de egymással összefüggésben léteznek.

A tapasztalati világban létező formák világában felfedezhető bizonyos hierarchia. (Erről egy régebbi bejegyzésben is volt szó.) A hierarchia tetején a lényegadó formák (forma substantialis) vannak. Ezek a formák biztosítják a létezőnek az önálló létezésben megvalósuló egységét. Más formák viszont nem önálló létezést jelölő formák, hanem járulékos (akcidentális formák). Ezek a formák csak a másban való létezés formái. Így a kékség mint forma mindig valamilyen dolog kékségének a formája. Az önálló létező különböző részei ugyancsak a létező lényegadó formájától különböző formáknak tekinthetők. Így például a szív, a tüdő, a csontok formái nem azonosak az ember formájával, de ezek még sem önálló formaként léteznek, hanem beépülő formák. Az ember testét alkotó molekulák formája is a testbe való beépüléskor elveszíti önállóságát, lényegadó formaságát. Ez nem jelenti azt, hogy a molekulaságból következő tulajdonságok formái megszűnnének, ezek jelen vannak, de nem mint egy önálló molekula járulékos formái, hanem mint az emberi test egy részének formái. A tomista álláspont szerint ugyanazon létezőnek csak egyetlen lényegadó formája lehet, mert a létező egysége csak így biztosítható. A természettudományok vizsgálják az egyes formák és az ezek alatt lévő formák közti összefüggéseket. Jogos törekvése ezeknek a tudományoknak megvilágítani azt, hogy az alacsonyabb szint formáit, mint lehetőségeket, hogyan formálja meg a magasabb szintű forma. Így az orvostudomány vizsgálja azt, hogy az ember élete hogyan függ a szervek, a sejtek, az ezeket alkotó molekulák stb. sajátosságaitól. A természettudományoknak azonban nagy kísértése az úgynevezett redukcionizmus, amely a magasabb szintű formák teljes megértését az egyre alacsonyabb szintű formákra való visszavezetéstől reméli, jóllehet a magasabb szintű formák soha nem oldhatóak fel teljesen az alacsonyabb szintű formákra való visszavezetés által. Így a hierarchia tetején lévő lényegadó forma sem egyenlő az alacsonyabb szintű formákból adódó lehetőségek megformálásával, hanem ez közvetlenül formálja meg a formákat teljesen nélkülöző elsődleges anyagot (materia prima), amely önmagában, forma nélkül csak lehetőségként létezik. Az anyaggal a tényleges létezésben mindig csak valamilyen forma által megformálva találkozunk. Az elsődleges anyag valóságos része annak a metafizikai összetételnek, amelyben ez a lényegadó formával együtt adja meg  egy dolog lényegét, azt ami a dolgot azzá teszi, ami. A lényegadó forma sem létezik önállóan, ez csak anyagot megformáló formaként létezik. A tomisták az anyagot tulajdonítják az egyediség elvének (principium individuationis). Az elsődleges anyagból és a lényegadó formából való összetettségben a forma utal arra, ami például minden emberben közös. Ezért ez nem lehet az ember térben és időben való konkrétságának, egyediségének az elve. Az egyediség annak az anyagnak köszönhető, amelynek bármilyen megformáltsága esetén, a megformált létező rendelkezik a mennyiség (quantitas) tulajdonságával. Ennek következtében a megformált anyag mennyiséggel megjelölt anyag (materia quantitate signata) lesz. A mennyiség, a kiterjedés adja meg a lehetőséget arra, hogy az anyagban olyan részek, darabok legyenek, amelyek nem egyeznek meg egymással és így a megformáltság az anyagnak egy konkrét darabjára vonatkozzék. A mennyiséget nem úgy kell elképzelnünk, hogy ez az anyagnak egy olyan önálló formája lenne, amely alapjául szolgálna a lényegadó formával való megformáltságnak. Mindössze csak arról van szó, hogy az anyagnak nincs olyan megformáltsága, amelyben a megformált anyag nem rendelkezik a mennyiség, kiterjedés tulajdonságával. Ezzel tulajdonképpen meg is érkeztünk a tapasztalható dolgok nélkülözhetetlen tulajdonságához, a mennyiséghez, amely jelenthet számosságot, de jelentheti a különböző mértékek által meghatározott alakzatokat is.  A matematika tárgyainak valóságbeli alapja a tapasztalható világ dolgainak ez a nélkülözhetetlen, alapvető tulajdonsága. A mennyiség annyira nélkülözhetetlen tulajdonság, hogy minden más tulajdonság feltételezi ezt. Így például, ha színről van szó, mindig egy mennyiségekkel leírható felület színéről beszélünk. Az az absztrakció, amellyel a matematika elsődleges objektumaihoz jutunk, a tomista ismeretelmélet háromféle absztrakciójának az egyike. Egy régebbi bejegyzés már röviden foglalkozott ezekkel az absztrakciókkal.

Amint arról az előző bejegyzésben szó volt, az absztrakció tulajdonképpen a megismerésnek az a folyamata, amelyben értelmünk kiemeli az anyagi valóságot megformáló formákat és ezáltal ezek ismeretként értelmünk formái lesznek. Az emberi megismerés érzékszervekhez kötöttsége miatt az ember nem képes az összes formát egyetlen megismerési aktussal felfogni. Az érzékszervek konkréthoz, egyedihez kötöttsége miatt csak a sokaságot érzékeljük. A formák által megvalósított egység felismeréséhez arra van szükség, hogy “kiszabaduljunk” az érzékelés konkrétságából. Ezt a “kiszabadulást” megvilágíthatja az a mód, ahogyan egy képet, fényképet, festményt nézünk. Ha erős nagyításban, közel a képhez csak a részleteket nézzük, akkor a kép igazi “formája” nem lesz felismerhető számunkra. A részletektől el kell vonatkoztatnunk, a képtől bizonyos távolságra kell kerülnünk ahhoz, hogy az egész “formát” felfogjuk. A távolság következtében már nem látjuk azokat a részleteket, amelyek elvonnák figyelmünket az egész kép “formájától”. Az absztrakcióban is valami hasonló történik, ebben is megfelelő “távolságra” kell kerülnünk a konkrét érzékeléstől. Ezt a “távolságot” azonban nem térbeli eltávolodás által nyerjük, hanem az által, hogy értelmünk elhagyja az érzékelés konkrétságát, egyediségét annak érdekében, hogy felismerje, megértse az érzéki adatokban lévő, egységet megjelenítő formát. Ezután a lépés után már vissza lehet térni az egyedihez, de ez a visszatérés az egyedit már nem csak érzékszervi adatok összességének tekinti, hanem a megértett forma hordozójának, például embernek. Az első absztrakciós fokozatban elvonatkoztatunk az anyagi dolgokban jelenségekben tapasztalható egyediségtől, de nem vonatkoztatunk el attól, hogy ezek a dolgok, jelenségek anyagiak. Így jutunk el az ismeretek, a tudomány azon területéhez, amelyet a Physica szóval jelölhetünk. Anélkül, hogy részletekbe mennénk, megemlítjük, hogy ez a terület mintegy legfelsőbb szinten a természetfilozófiát, a philosophia naturalis-t foglalja magában és ennek csupán egy része, a mai értelemben vett fizika. Ezen terület ismereteire jellemző, hogy az anyagi világból erednek, és az anyagiság nem zárható ki ezen ismeretekből. Így az ember fogalma értelmetlen, hibás az anyagiság feltételezése nélkül, hiszen ember anyag nélkül nem létezhet (itt a földön).

Témánk szempontjából az absztrakció második fokozata az érdekes. Ebben a fokozatban jutunk el a matematikai mennyiségek és alakzatok fogalmaihoz. Ezek a fogalmak is az anyagi valóságból származnak, de a matematikai fogalmak érthetőségének már nem feltétele az, hogy ezek az anyagiság valamilyen jegyét is hordozzák. Egy háromszög, egy prímszám elképzeléséhez, “megértéséhez” már nincs szükség semmilyen anyagra. A következő bejegyzésben tovább vizsgáljuk ezt az absztrakciót, de a teljesség kedvéért megemlítjük még az absztrakció harmadik fokozatát, a metafizikai absztrakciót is. Az absztrakciónak ebben a fokozatában ismereteink a létezőre irányulnak. A létezés vizsgálatához nem szükséges anyagi jegyeket feltételezni, de azt sem kell feltételezni, hogy a létezés csak anyagi eredetű lehet.

Az előző bejegyzésben azt a kérdést vetettük fel, hogy a matematika különböző tárgyai (így például a számok, a geometriai alakzatok vagy az olyan elvontabb struktúrák, mint például az absztrakt algebra struktúrái) milyen létezéssel rendelkeznek. Léteznek-e ezek tőlünk függetlenül vagy csak képzelőerőnk tevékenységének az eredményei ezek? A kérdést színezi az, hogy a fizika tanúsága szerint a valós, tőlünk független létezők világa valamilyen módon összefügg a matematika világával, hiszen bizonyos, matematikát intenzíven használó fizikai elméletek kísérletileg nyernek igazolást. Egyes matematikusok szerint a matematika tárgyainak világa tőlünk függetlenül létező világ, a matematikus csak felfedezi ennek a világnak a “tényeit”. Ezt az úgynevezett platonista álláspontot képviseli például az előző bejegyzésben említett Kurt Gödel, vagy A császár új elméje című könyve alapján Magyarországon is ismert Roger Penrose. A matematika eredetével kapcsolatos különböző nézetek skálájának másik szélén található álláspont szerint a matematika csak az ember, az emberi kultúra alkotása, tipikusan emberi, sőt szociális jelenség. Tomista szemszögből nézve a matematika tárgyai csak az emberi értelemben létező tárgyak, de ezek összefüggésben vannak a tőlünk függetlenül létező, tapasztalati világgal, vonatkoznak erre a világra. A matematika tárgyai entia rationis cum fundamento in re, csak értelmünkben létező dolgok, de ezek léte a tőlünk független valóságban van megalapozva. Ezzel a “definícióval” kapcsolatban fölmerül a kérdés, hogy hogyan keletkeznek értelmünkben a matematika tárgyai, mi ezek viszonya a tapasztalati világhoz. A kérdésre a választ a tomista ismeretelmélet egyik legfontosabb fogalma, az elvonás, az absztrakció fogalma segítségével adhatjuk meg.

Az absztrakció tomista fogalmának megvilágításához az absztrakció egy “modernebb” változatából, a szoftverfejlesztés folyamán használt absztrakcióból indulunk ki. (Egy korábbi megjegyzésünkben már használtunk a szoftverfejlesztés területéről vett analógiát.) Közismert, hogy a számítógépes programok nagyon egyszerű (szinte primitívnek mondható), számítógépek által közvetlenül végrehajtható utasítások, úgynevezett gépi kódú utasítások ezreiből,  millióiból állnak. Ezekből a primitív utasításokból a bonyolult programok (ilyen például a Microsoft Office) közvetlen felépítése rendkívül nehézkes, hibák elkövetésének erősen kitett, hosszú folyamat. Ráadásul a különböző számítógépek különböző elemi utasításokkal rendelkezhetnek. A szoftverfejlesztésben hamar rájöttek arra, hogy egy konkrét szoftverobjektum esetében el lehet választani azt, hogy valamilyen magasabb szinten az objektumnak mi a feladata, attól, hogy ez az objektum hogyan oldja meg ezt a feladatot. Ez a szétválasztás azt eredményezte, hogy a fizikailag ténylegesen létező hardver szintje fölött megjelentek olyan szintek, amelyek fizikailag a szó szoros értelmében nem létező szintek, mert ezek nem az egyes feladatokat megvalósító konkrét utasítások szintjei, hanem maguknak a feladatoknak ezektől ezektől elválasztott, elvonatkoztatott szintjei. Ezek a szintek sokszor az úgynevezett magas szintű nyelveken íródnak le. Ilyen nyelvek például a Java, a C, a C++ stb,  de még az a HTML nyelv is ilyennek tekinthető, amely nyelvű szövegbe ez a szöveg is, amelyet most írok,  beágyazódik annak érdekében, hogy a böngészők megfelelő formában jeleníthessék ezt meg. Az absztrakció szoftverfejlesztésben való intenzív használata azonban nem csak a magasszintű nyelvek használatában jelenik meg, hanem a szoftver megtervezésében is. A jó szoftvertervező absztrakciókat, absztrakciós szinteket használ. Ezek a szintek először és elsősorban a tervező fejében (és a szoftver dokumentációjában) léteznek, magában a gépi kódú programban (amely végső soron 0 és 1 számjegyek, bitek sorozata) nem feltétlenül ismerhetőek fel, mégis a program a szoftvertervező absztrakcióit, koncepcióit valósítja meg.

A szoftverfejlesztés szempontjából különösen érdekesek azok a fordítóprogramok, amelyek bemenete például a fentiekben említett, magas szintű nyelveken írt valamilyen program, kimenete pedig a gépi kódú utasításokból álló program. A fordítóprogram is szoftver, ennek a tervezését is célszerű absztrakciós szintek kialakításával tervezni. Az absztrakciós szintek megfeleltethetők a bemenő szöveg szerkezetének. Legalacsonyabb szinten ez a szerkezet bitek sorozatának tekinthető. A következő szint a betűk, számjegyek, jelek, karakterek szintje. Az egyes karaktereknek bitek adott sorozata felel meg. Így például az egyik kódrendszerben (ASCII) az “a” betűnek a “00111101″ sorozat felel meg. A bitsorozat szintje fölött van tehát a karakterek szintje, amelyet a bitsorozatból kiemelt karakterek sorozata jelenít meg. A karakterek sorozatából emelődik ki a magasabb szintaktikai egységek (például szavak, számok, műveleti és egyéb jelek) sorozata. A következő szint az előbbi szint objektumainak sorozatából “kivonja, absztrahálja” az utasításokat, majd a legfelső szint a teljes program szintje. Azt látjuk tehát, hogy a bitek sorozatából a fordítóprogram saját maga számára érthető struktúrákat, formákat emel ki, és ezen struktúrák, formák alapján újabb struktúrákat, formákat ismer fel. Az egyes absztrakciók mögött valaminek az elhagyása van. Az utasítások szintjén például nem foglalkozunk a bitekkel, a karakterekkel, itt csak a közvetlenül ez alatt lévő szintből “emeljük ki” az utasításokat. Ez a kiemelés, elhagyás annyira valóságos, hogy a kiemelt struktúra szempontjából az sem fontos már, hogy az alsóbb, közvetlenül nem érintett szintek mire vonatkoznak. Ha például a gépünk valamilyen optikai olvasóval rendelkezne és felismerné az írott karaktereket, akkor bitsorozatok nélkül is ugyanolyan struktúrákhoz, formákhoz jutnánk.

A fenti, szoftverfejlesztésből vett analógia segítségével próbáljuk megvilágítani azt a tomista megállapítást, hogy az értelem az absztrakció által jut el a szellemi megismerés tárgyáig az intelligibile-ig. Egyik bejegyzésben szó volt az anyagi létezők elsődleges anyagból és lényegadó formából való összetettségéről. A forma és a megformált valami összetettségét analógiaként szemléltetheti egy program forrásnyelvi szövege. Ez a szöveg végső soron bitek sorozata, mégis ebben a sorozatban benne van formaként egy program. A program a sorozatot információ hordozójává teszi, a bitsorozatot mintegy programszöveggé “formálja”. A program formaként az egész bitsorozatot megformálja, ugyanakkor alacsonyabb szintű formák (karaktereknek, magasabb rendű szintaktikai egységeknek, szerkezeteknek a formái) is megformálják a bitsorozat egyes részsorozatait. A teljes program egyrészt a teljes bitsorozatot megformálja, másrészt az alacsonyabb szintaktikai szerkezetek sorozatai ennek szempontjából ugyancsak megformált valaminek tekinthetők.

A fenti modell azonban az anyagi világ valóságához képest nagyon külsődleges modell. Az említett formák külsődleges formák, csak külsőleg kapcsolódnak a bitek sorozatához, amelyek ugyancsak megformált dolgok. Ennek a külsődleges kapcsolódásnak az alapja a szoftverfejlesztők értelmezése, az általuk készített fordítóprogramok és egyéb programok. A tomista értelmezés szerint a megformált valami (a megformálás előtt) lehetőségként, képességként (potentia-ként) viszonylik az őt megformáló formához, amely az az aktualitás, amelyet a lehetőség befogad, amely által ez a lehetőség ténylegességgé, “megfoghatóvá” válik. A világban tapasztalható dolgok ténylegességek. A lehetőség ténylegesség nélkül csak lehetőségi, nem pedig valósan megtapasztalható létezés. Közvetlenül csak a ténylegesen létezőt tudjuk megismerni, csak ez képes érzékszerveinkre hatni. A ténylegességet viszont a formák adják, ezért megismerésünk igazi tárgya, az értelmünk által felfogható, az intelligibile mindig valamilyen forma. Az anyagi világ ténylegességét, megismerhetőségét tehát a formák adják. Ezek a formák nemcsak az anyagot, az anyagi világ lehetőségeit formálják meg, hanem az anyagi világ megismerésének folyamatában értelmünk formáivá is válnak, mintegy értelmünket formálják meg ismeretként. Így ugyanaz a forma egyrészt a tapasztalati világban létező, anyagot, anyagi lehetőséget megformáló forma, másrészt azonban az értelmünkben meglévő lehetőséget (ezt lehetőség szerinti értelemnek, intellectus possibilis-nek nevezik a skolasztikusok) is megformáló forma. A kétfajta létezés alapvetően különbözik egymástól, az egyik a forma anyagban való, anyagot megformáló létezése, a másik létezés az a szellemi létezés, amelyben az ismeret az értelem egy minőségeként, állapotaként létezik. Az ismeret nem a külső világban megformált valaminek az értelembe történő átvitele által keletkezik, hanem ez az úgynevezett cselekvő értelem, intellectus agens tevékenységének az eredménye. Az intellectus agens az érzéki megismerés adataiból kiemeli a formát és ezt  az intellectus possibilis (egy minőségének) a formájává teszi. A szó legáltalánosabb értelmében ezt a folyamatot nevezhetjük absztrakciónak, elvonásnak. Ez a folyamat a forma eredeti környezetéből történő kiemelését és a szellemi környezetben lévő érthetővé, ismeretté válását eredményezi. Az eredeti környezet az a tapasztalható világ, amelyben a dolgok, a történések mindig egyediek, adott helyen és időben vannak. Szellemi ismereteink ugyanakkor bizonyos állandóságról, bizonyos időtől és helytől független érvényességről tanúskodnak. Ez azonban nem azt jelenti, hogy szellemi ismereteink a megértés valamilyen független világát alkotják. Ezek mindig valamilyen közvetlen vagy közvetett vonatkozásban vannak azzal a világgal, ahonnan származnak. Ez világ pedig a konkrét tapasztalható dolgok világa. Ezt a világot szellemi természetű ismereteink által értjük meg.

A következő bejegyzésben az absztrakció fajtáiról, folyamatáról lesz szó. A matematikai ismeretekhez az absztrakció egyik fajtája vezet el.

A matematika köztudatban ismert két ágának egyike az aritmetika, a számokkal foglalkozó ág. A másik ág a geometria, amely a térbeli alakzatokkal foglalkozik. A 17. század folyamán, elsősorban a fizika hatására alakult ki a matematikának az az ága, amely a függvények változásával és a változások eredményeinek az összegezésével foglalkozik. A matematikának ez az ága, az analízis a differenciálszámítás felfedezésével kezdődött. A differenciálhányados megadja a függvény változásának mértékét egy adott helyen és így ez kiválóan alkalmazható a térbeli változás, a szoros értelemben vett mozgás leírása. A térbeli mozgás sebessége a távolság változásának mértéke, magának a sebesség változásának a mértéke pedig a gyorsulás. Ezek a mértékek megadhatók differenciálhányadosként és így szerepelnek a fizikai törvények matematikai leírásaiban. A pillanatnyi változást leíró matematikai eszköz, a differenciálszámítás párja az integrálszámítás, amely viszont nem a pillanatra jellemző mennyiségekkel, hanem a pillanatokból összeálló intervallumokra jellemző, összegezett mennyiségekkel foglalkozik. A 19. és 20. század folyamán azonban megjelentek a matematikának olyan ágai is, amelyeknek már semmilyen közvetlen kapcsolata nincs a számokkal, mennyiségekkel, térbeli alakzatokkal. Az absztrakt algebra például már nem aritmetikai vagy geometriai objektumokkal foglalkozik. Ezek az objektumok semmilyen tulajdonsággal nem rendelkeznek azon kívül, hogy köztük valamilyen műveleteket lehet végezni, amely műveleteknek vannak bizonyos tulajdonságai. Ezek a tulajdonságok néha emlékeztetnek a számok aritmetikában megszokott tulajdonságaira (sokszor ezek voltak a kindulásai az ezektől már elszakadó általánosításoknak). Az absztrakt algebra talán legfontosabb ágában, a csoportelméletben definiált műveleti tulajdonságok például emlékeztetnek az egész számok (negatív egész számok, nulla, pozitív egész számok) közti összeadás műveleti tulajdonságaira. Ezeknek a tulajdonságoknak azonban nem ez az egyetlen “realizációja”, a csoportelmélet nélkülözhetetlenné vált a matematika és a fizika sok területén.

Maga a számfogalom is nagy fejlődésen ment keresztül. A pozitív egész számok (1, 2, 3 …) beágyazódnak a negatív egész számokat és a nullát is tartalmazó tágabb számkörbe. Ez ismét beágyazódik az osztás műveletének eredményeként kapott törtszámokat is tartalmazó tágabb körbe, a racionális számok körébe. Ez ismét beágyazódik a valós számok körébe, amely már például tartalmazza a hányadosként nem előállítható, pozitív számokból vont négyzetgyököket is. (Ilyen szám például kettő négyzetgyöke, tehát az a szám, amely önmagával megszorozva kettőt ad). De ez még nem az utolsó lépés a számok körének bővítésében. A bővítés következő lépésében számnak tekintjük például a negatív számok négyzetgyökeit is. (A -1 négyzetgyökét például az i betűvel jelölik és az ilyen számokat képzetes, imaginárius számoknak nevezik). A képzetes és valós számokat, továbbá az ezekből összetett számokat tartalmazó számkört a komplex számok körének nevezik. Tapasztalható világunkban semmilyen, képzetes számokra emlékeztető mozzanattal nem találkozunk. A valós számok közül többet még kapcsolatba hozhatunk tapasztalati világunkkal. Így például egy egységnyi hosszú oldalakkal rendelkező asztal lapja átlójának a hossza kettő négyzetgyökének tekinthető. A komplex számok matematikáját használó számítások, levezetések azonban nélkülözhetetlenek például a fizikában. 

Egy másik megnyilvánulása a matematika “tapasztalati valóságtól való elszakadásának” a háromnál magasabb dimenziójú terek tanulmányozása. Érdekes módon az ilyen területek is megjelennek a tapasztalati világ leírására irányuló matematikai levezetésekben. A kísérletileg igazolt relativitás-elméletekben például a tér megszokott három dimenziójához hasonló dimenzióként van kezelve az idő is, az elméletek matematikai leírására ilyen, négydimenziós tereket használnak. A kísérletileg igazolatlan fizikai húr-elméletek már “bővebben bánnak” a dimenziók számával, feltételezéseik szerint szerint a tér lehet akár kilenc vagy ennél több dimenziós is. Fontos azonban megjegyezni, hogy a matematika sokdimenziós terei nem valamilyen fizikai tapasztalat alapján születtek, ezek teljesen a matematika “termékei”, amelyek később nyertek fizikai alkalmazást.

A matematikai objektumainak a fentiekben csak vázlatosan, a teljesség igénye nélkül leírt “bősége” láttán, joggal vetődik fel a kérdés, hogy honnan vannak ezek az objektumok. Mi ezeknek az objektumoknak az ontológiai helyzete? Kitaláljuk-e ezeket vagy felfedezzük? A fenti kérdéseket még ki lehet egészíteni azokkal a kérdésekkel, amelyek a matematika és a tapasztalati világ összhangjára vonatkoznak, amely összhangra a fentiekben is utaltunk. A fenti (és egyéb) kérdések megválaszolásával kapcsolatban alakult ki a matematika filozófiai vonatkozásainak a tanulmányozása. A fenti kérdések mellet még olyan kérdések is megjelentek, amelyek a matematikai módszerek más tudományok által irigyelt egzaktságára, konzisztenciájára vonatkoznak. Ezekkel kapcsolatban Kurt Gödel felfedezései ébresztettek kételyeket. Gödel első nemteljességi tétele szerint bizonyos matematikai elméletekben (formális rendszerekben) van olyan tétel, amelynek sem állítása, sem tagadása nem bizonyítható. Itt tehát a matematikai tétel igazsága és bizonyíthatósága közti kapcsolat meglazulásáról van szó. A második nemteljességi tétel arra is rámutat, hogy a matematika bizonyos elméletei esetében nem tudjuk az elmélet eszközeivel megmutatni, hogy a rendszerben nincs olyan tétel, amely bizonyítható, de ennek a tagadása is bizonyítható. Más szóval a rendszer konzisztenciája, ellentmondásoktól való mentessége kérdésének a megválaszolására csak a rendszeren kívül van lehetőség.

A továbbiakban elsősorban nem Gödel tételeivel, hanem a matematika ismeretek eredetével foglalkozunk, tehát azzal a kérdéssel, hogy honnan veszi a matematika a tárgyait. Ezek a kérdések a matematika területén belül nem válaszolhatóak meg. Természetesen eredményesen lehet foglalkozni a matematikával anélkül is, hogy a fenti kérdésekre megpróbálnánk választ adni. Sőt még az is lehetséges, hogy a válasz megkerülését filozófiai jellegű álláspontként fogalmazzuk meg. Ilyen álláspont volt David Hilbert által megfogalmazott formalizmus álláspontja. Ez az álláspont zárójelbe tette a matematikai tételek jelentését, célként tűzte ki a matematika teljes formalizálását. Egy adott terület axiómáit, meghatározásait formulák, jelek segítségével megfogalmazhatjuk. Ugyanígy megadhatjuk azokat a szabályokat is, amelyek segítségével a meghatározások alapján tételeket fogalmazhatunk meg. Az axiómákból való levezetés, bizonyítás azt a folyamatot jelenti, amelyben az axiómák megfogalmazását megfelelő szabályok segítségével “átalakítjuk” és ezen lépések folyamán eljutunk a tételhez (vagy tagadásához). A tételek axiómákból való levezetésének, bizonyításának menete ugyancsak formalizálható. Gödel előbb említett tételei azonban csapást mértek a formalizmus eredeti elképzelésére, mert kimutatták azt, hogy bizonyos matematikai elméletek esetében egyrészt a formalizmust alkalmazva megfogalmazhatunk olyan tételeket, amelyekkel kapcsolatban elvileg leheteletlen olyan levezetést adni, amelynek eredménye akár a tétel, akár ennek tagadása. Másrészt Gödel azt is megmutatta, hogy bizonyos formális elméletek esetében az elmélet eszközeivel még azt sem tudjuk igazolni, hogy a rendszer konzisztens-e.

Láttuk tehát, hogy a matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatos eredeti kérdésnek a szigorúan értelemben vett formalista megközelítés alapján történő félretétele problémákkal jár. A matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatos kérdésekre adott válaszok rokonságot mutatnak a középkori skolasztika egyik nagy filozófiai vitájában az univerzálékkal kapcsolatos kérdésekre adott válaszokkal. Ez a vita arról szólt, hogy mi alapján állítunk egyetemes dolgokat az individuumokról. Mi alapján mondjuk azt, hogy X ember, hogy Y ember. Létezik-e az individuumoktól függetlenül, az individuumokat megelőzőn az, amire az “ember” szó utal? Vagy ennek a szónak nincs ilyen jelentése, mert ez csak az individuumok egy bizonyos halmazának jelölésére szolgál, minden további ontológiai alap, jelentés nélkül? A kérdést úgy is fel lehet tenni, hogy mi az olyan általános fogalmaknak, mint amilyen például az emberség, az ontológiai helyzete. Van-e önállóan létező emberség a valóságban is, vagy ez csak értelmünk, nyelvünk konstrukciója, amely az individuumok egy csoportjának a jelölésére szolgál. Hasonló kérdés tehető fel matematikai fogalmainkkal, a matematika objektumaival kapcsolatban is. Az univerzálék kérdésével kapcsolatos szélsőséges válaszok, a platonista realizmus válaszai (universale ante rem, azaz az univerzálék már a dolgok előtt, azoktól függetlenül léteznek) és a nominalizmus válaszai (universale post rem, azaz az univerzálék a dolgok után, csak értelmünkben léteznek) megjelennek a matematika filozófiájában is. A tomizmus által is képviselt mérsékelt realizmus (universale in re, azaz az univerzálék nem a dolgok előtt, nem a dolgoktól függetlenül léteznek, hanem a dolgokban) álláspontja hasznos lenne a matematika filozófiájában is. A tomista tudományelmélet kijelöli a matematika helyét a tudományok rendszerében, de viszonylag kevéssé van képviselve a matematika filozófiájának utóbbi fejleményeiben. A következő bejegyzésben a matematika tárgyai eredetének kérdését a tomizmus szempontjából próbáljuk vizsgálni, természetesen most is a teljesség igénye nélkül.

Az ismeretelmélet egyik nagy kérdése az, hogy ismereteinknek van-e a megismerő alanytól függetlenül létező alapja. Meg lehet tehát kérdezni, hogy ismereteinket mennyiben formálja a megismerő alanyon kívül létező valóság. A kérdés magát a megismerő alanyt, ennek működését állítja megismerésünk középpontjába. Több régebbi bejegyzésben (itt és itt) beszéltünk arról, hogy ez problematikus lehet, ha csak nyelvi vagy formális szempontokat veszünk figyelembe, mert így az önreferencia, a regressus ad infinitum, a petitio principii, a circulus vitiosus valamilyen esetével kerülhetünk szembe. Érdekes megközelítése a problémának az úgynevezett retorziv következtetés (amelyről egy korábbi bejegyzésben volt szó). A retorzív következtetés segítségével például a megismerő alanyon kívüli valóság megismerhetetlenségét tagadó szkeptikus álláspontjában következetlenséget fedezhetünk fel. A szkeptikus a maga álláspontját hangoztatva önmagával kerül ellentétben, mert máris olyan állítást tett, amely a megismerő alanyon kívüli valóságról állít valamit: azt, hogy ez az alany számára megismerhetetlen. Arról is szó volt, hogy valójában ez az ellentmondás abból adódik, hogy a szkeptikus ezen kijelentése egy “nyelvi réteget” összemos ennek “metanyelvi rétegével”. Ezért az óvatos szkeptikus már azt mondhatja, hogy tapasztalata vagy meggyőződése szerint ismereteinknek nincs az alanyon kívüli valósággal kapcsolata. A “meggyőződés”, a “tapasztalat” szavak már utalhatnak a metanyelvi rétegre és ugyanakkor ezen szavak használata további “meta szintek” föltételezését is fölöslegessé tehetik, mert a tapasztalat, a meggyőződés (hit) fogalmak olyan közvetlenségre utalnak, amelyek esetében már nincs arra kényszer, hogy valamilyen közvetettségből adódó, további “meta szinteket” tételezzünk fel. Mindenesetre érdekes, ha megismerésünk és az alanytól független valóság kapcsolatát nem tagadjuk, hanem állítjuk, akkor a meta szintre való ugrásunk ezt a következetlenséget nem hordozza magában, csak azt lehet szemünkre vetni, hogy az ugrás nem indokolt.

A transzcendentális tomizmus a közvetettnek tekintett kategoriális ismereteink alapját a közvetlen megismerésnek tekintett transzcendentális reflexió által véli megtalálni. Az alábbiakban röviden ismertetendő megközelítés bizonyos értelemben véve hasonlít a transzcendentális reflexióhoz. Itt is az alany, az alany megismerése, az alany ismeretére való reflexióról van szó és ez a reflexió kiindulásként nem tartalmazza a tárgyi világ létezésének feltételezését sem. Lényeges különbség azonban az, hogy itt nem annyira a megismerés “előterének” és “hátterének” elemzéséről van szó, hanem a létezés kétségbevonhatatlan tapasztalatáról és a létező ebből eredő fogalmáról, követve Aquinói Szent Tamást, aki szerint a létező ismereteink elsődleges tárgya, a primum intelligibile. Az kétségbevonhatatlan, hogy a megismerő alany létezik és a benne lévő, általa birtokolt ismeret is létezik. A létezés tapasztalata az alapja a létező általános fogalmának (ens commune). A létező fogalma mindenre alkalmazható, ami létezik, ebből egyedül a nem-létező zárható ki. Míg egyéb fogalmaink valamilyen mozzanat elhagyása által keletkeznek (így például az ember fogalma nem tartalmazza szőke-hajúság vagy kék-szeműség jellemzőit, mert ebben az esetben a nem szőke hajjal és kék szemmel rendelkezőket nem tekintenénk embernek), addig az ens commune fogalma a létezés minden mozzanatára kiterjed. A fogalom másik érdekes tulajdonsága, hogy ennek köréből eleve nem zárhatók ki olyan dolgok sem, amelyek nem megismerő alanyként vagy az alany tudatának tartalmaiként, ismeretként léteznek. (Egy régebbi bejegyzés foglalkozott a létező fogalmának analóg voltával. A létanalógiára most mint a megismerésünkre való reflexió eredményére hivatkozunk.)  Maga a létezés tapasztalata azonban elválaszthatatlan két alapelvtől. Ezek az alapelvek tulajdonképpen a létezés megismerhetőségére, értelmességére vonatkoznak. Az első ilyen alapelv a létezést választja el a nem-létezéstől. Negatív fogalmazásban ezt az elvet az ellentmondás elvének (principium contradictionis) szokták nevezni. Eszerint az ugyanolyan szempontból vett létezés nem lehet egyszerre nem-létezés is. Ítéleteinkre alkalmazva ez az elv azt mondja, hogy egyszerre, ugyanolyan szempontból nem állíthatunk valamit és ennek az ellenkezőjét. Az ellentmondás elve pozitív megfogalmazásban az azonosság elvét (principium identitatis) adja: ami létezik, az az, ami létezik. A második elv az elégséges alap, magyarázat elve (principium rationis sufficientis). Eszerint az alapelv szerint, ha egy létező nem hordja magában létének indokát, magyarázatát, akkor ez valamely más létezőben található meg. (A létezés fogalmát itt nem csak a szubsztanciális létezés értelmében használjuk. Létezőnek tekintünk például egy tulajdonságot, állapotot is.)  Ezt az elvet szokták az elégséges okság elvének is nevezni. Ez az elv tulajdonképpen azt az általános emberi törekvést fejezi ki, amely a megismerésben soha nem elégszik meg az ismeretek egy adott állapotával, hanem igyekszik ennek mélyére hatolni, a jelenségek okait magyarázatát keresni. Ez az alapelv a mozgatója az ismeretek, a tudományok fejlődésének. Ez az elv biztosítja a megértés lehetőség szerinti határtalanságát, amelynek korlátot szabna az alapelv tagadása, mert ez lehetővé tenné azt, hogy a megfelelő magyarázat hiányát végleges álláspontként elfogadjuk, ebbe belenyugodjunk.

A létezéshez, a létezés megismerhetőségéhez, értelmességéhez kötődő fenti alapelvek nem vezethetők le, nem bizonyíthatók és tagadásuk sem vezet közvetlen logikai ellentmondásokhoz. Ezeknek következetes tagadása mégis lehetetlenné teszi az emberi ismeretet, az ismeretek fejlődését, a szellemi életet. A retorzív következtetésekkel kapcsolatban említett hatás mutatkozik meg tehát itt is: az alapelvek tagadása közvetlen logikai ellentmondáshoz nem vezet, mégis a következetes tagadásban a tagadó részéről “következetlenség” nyilvánul meg.

Fontos megjegyezés, hogy a fentiekben nem tételeztünk fel a megismerő alanytól, ismeretétől független, más létezőt. Ha azonban tovább vizsgáljuk ismereteink létrejöttét, fejlődését, körülményeit, akkor az elégséges magyarázat elvére támaszkodva fel kell tételeznünk, hogy ismereteinknek nem lehet elégséges magyarázata a megismerő alany önmagában, fel kell tételeznünk egy megismerőtől különböző valóságot is, mert enélkül ismereteink létezése, fejlődése megfelelő magyarázat nélkül maradna. A továbbiakban ennek a gondolatmenetnek a részleteivel nem foglalkozunk, csak röviden utalunk néhány olyan dologra, amelyek elégséges magyarázatául csak az szolgálhat, ha ismereteinket az alanytól különböző “tárgyi” valóság (is) alakítja. Ilyen annak az álláspontnak a megmagyarázhatatlansága, amely szerint az érzékelést “előzmények” nélkülinek tekintjük, de említhetnénk például  a tévedésektől az igazság felé való haladást is. A fentiekben nem adtunk egy általános bizonyítást, levezetést arra, hogy ismereteink (egyik) oka a tőlünk függetlenül létező tárgyi valóság. Csak arra mutattunk rá, hogy megismerésünk, ismereteink elemzése, az ezekre való reflexió is megerősítik ezt a meggyőződésünket. Ha tehát ideiglenesen, metodikai szempontból be is zárjuk magunkat a csak alanyi létezés keretei közé, akkor is látszik az a kitörési pont, amely kinyitja ezt a zártságot azon valóság felé, amellyel érzékszerveink adataiból elindulva kerülünk kapcsolatba, amely tágabb mint az alanyi létezés, de ezt az alanyi létezést is magába foglalja. A transzcendentális tomizmus, ellentétben az “igazi” tomizmussal, nem érzi a csak alanyi létezést annyira zárt létezésnek. Ennek oka az, hogy a transzcendentális tomizmus valamilyen értelemben ezt tekinti az “igazi” létezésnek. A “transzcendens” jelző azonban bizonyos értelemben véve a fent vázolt útra is alkalmazható. Minthogy a létező, az ens commune fogalma minden létezőre vonatkozik, ez a fogalom mindent átjár, “transzcendentál”, azt lehet mondani, hogy ez meghaladja például az arisztotelészi értelemben vett kategóriákat. Ez a transzcendencia tehát a létező fogalmának a transzcendenciája, amely utal arra, hogy minden későbbi (igaz) ismeret homályosan már bennfoglaltatik a létező általános fogalmában, mert minden, amit megismerünk, létező, hiszen a nem-lét nem ismerhető meg.

A fentiekből nem következik, hogy ismereteink minden részletükben pontosan megfelelnek a tárgyi valóságnak, és hogy a tévedés ismereteinkből teljesen kizárható lenne. Az ismeretelméleti kritika feladata az, hogy rámutasson a tévedések lehetőségére és ezek kiküszöbölésére. Az emberi megismeréssel kapcsolatos kételyek újkori felmerülése kapcsolatban áll a természettudományok fejlődésével, amelynek következtében évezredeken keresztül igaznak elfogadott ismeretek tévesnek bizonyultak. A természettudományok fejlődése azt is magával hozta, hogy a mindennapi életünk méreteihez szokott érzékelésünk a távcsövek, mikroszkópok és egyéb műszerek megjelenésével kitágult és ez ismét hozzájárult ahhoz, hogy mindennapi tapasztalataink bizonyos értelembe kétségbe vonódjanak. Így az ismeretelmélet számára különösen fontos feladat a természettudományos megismerés vizsgálata.

Az előző bejegyzésben rámutattunk arra, hogy a transzcendentális ismeretelméletben lévő kettősséggel (kategoriális ismeretek, transzcendentális tapasztalat) szemben a tomista megközelítés az ismeretek egyetlen forrásaként azt az érzéki adatok által közvetített valóságot jelöli meg, amelyet megismer, megért az emberi értelem. A transzcendentális tomizmus szerint kategoriális ismereteink igazságának, nem teljes voltának, az ismereteinkben lévő esetleges tévedéseknek a felismerése azáltal lehetséges, hogy a nem kategoriális, transzcendentális megismerésben valamilyen módon már megragadjuk a teljes igazságot. A következőkben a megismerés folyamatának rövid áttekintésével foglalkozunk tomista szempontból.

Ismereteink értelmünk változásainak az eredményei. A változás azt jelenti, hogy valamilyen lehetőség, képesség átmegy ténylegességbe, megvalósultságba. A változások nem önmaguktól történnek, hanem ezeknek okuk, okaik vannak. Ismereteink létrejötte két okra vezethető vissza. Az első ok az a valóság, amelyet megismerünk, amelyre vonatkozik az ismeret. A másik ok pedig a megismerő alany működése. Ez a két ok eredményezi azt, hogy az értelemben ismeretként megjelenik a valóság. Ez a megjelenés a valóság és ismeret valamilyen értelemben vett egységét jelenti. Ez az egység azonban nem jelenti a megismert valóság és ismeretének teljes azonosságát. Ilyen azonosság csak az isteni megismerésre jellemző, amelyben Isten egyszerűsége miatt  a megismerő, a megismert és a megismerés azonosak.

A továbbiakban ismét egy “modern” példával próbáljuk megvilágítani a megismerés folyamatát. A digitális fényképezőgép valójában csak az emberi megismerés egyik kiindulását, a látást modellezi, mégis alkalmasnak látszik a teljes emberi megismerés egyes mozzanatainak a megvilágítására is, különösen akkor, ha együtt nézzük a fényképezőgépet és használóját. A fényképezőgép a lencsét érő fotonokat az optika fénytörése miatt olyan utakra kényszeríti, amelyek hasonlítanak az emberi szem optikájának hatására előálló utakhoz. A fotonok az emberi szem retinájához hasonló fényérzékelő felület pixeljeiben különböző elektromos töltéseket hoznak létre: a külső világról információt hordozó fotonok hatására a külső világnak ez a képe alakul ki. A “kép” szó használatával kapcsolatban azonnal meg kell jegyezni, hogy az emberi megismerés mérhetetlenül több mint a fényképezőgép képalkotása. Mindazonáltal a “kép” szó analóg használata jogosult. Azt is megjegyezzük, hogy a Fiú az Atyától való (értelmi jellegű) születésével kapcsolatban is alkalmazható a “kép” szó: “Mint dicsőségének kisugárzása és lényegének képmása, ő tartja fenn hathatós szavával a mindenséget” (Zsid 1, 3). Az emberi ismeretben is beszélhetünk arról, hogy az ismeret valamilyen értelemben a megismert képe. A “kép” szó utal a hasonlóságra, ugyanakkor viszont arra a különbségre is, ami az eredeti és képe között van. A tomista ismeretelmélet szerint ennek, a megismert dolog és az ismeret közti hasonlóságnak, megegyezésnek az az oka, hogy a megismert (filozófiai értelemben vett) formája formálja meg értelmüket, amely képes ezen forma befogadására. A forma lehet a lényegadó forma, de formának nevezhetünk minden meghatározottságot (például mennyiség, alak, szín) is. A forma a megismerhetőség, az érthetőség hordozója. A formát befogadó képesség, lehetőség azonban más az “eredeti” megismert és az ismeret esetében. A befogadó emberi értelem bizonyos értelemben minden lehet, amennyiben minden, számára megismerhető formát befogadhat.

Visszatérve eredeti hasonlatunkhoz, az emberi értelemnek ez a képességi, befogadó része megfeleltethető a fényképezőgép fényérzékelő felületének, amely képes a különböző képek befogadására. Az emberi értelem ismereteket, formákat befogadó képességét a skolasztikus terminológia befogadó, képesség szerinti értelemnek (intellectus possibilis) nevezi. Ha egy fényérzékelő felületet fényképezőgép nélkül, önmagában elhelyezünk a világban, nem kapunk számunkra felfogható képet. Ilyen képet csak akkor kapunk, ha a fényérzékelő felület egy olyan optikával rendelkező fényképezőgépben van, amely a fotonokat ahhoz hasonló útra kényszeríti, amilyen utakat ezek szemünk optikája által bejárnak.

Tehát a fényképezőgép optikájának az a feladata, hogy a fotonokat megfelelő pályák bejárására kényszerítse. Az optika nem hoz létre fotonokat, hanem csak ezeknek az útját jelöli ki. Az emberi megismerés “optikája” ennél szinte összehasonlíthatatlanul többet tesz, valóban “csodálatos” feladatot lát el. Ennek megvilágítására ismét egy “modern” hasonlathoz folyamodunk, amelyről már volt szó az egyik bejegyzésben. Egy számítógépes fordítóprogram nullákat és egyeseket tartalmazó bitsorozatok által hordozott programszövegek felismerésére szolgáló szoftver. A programok szövegei azonban csak külsődleges megformálói a bitsorozatoknak. De említhetnénk a hanghullámok speciális “konfigurációját” jelentő beszédet is, mint értelmes tartalmat hordozó formát. Ezeknek a formáknak a bitekhez, a levegőben sűrűsödés és ritkulás formájában terjedő hullámokhoz, az ezt hordozó levegőhöz, fizikai valóságokhoz nem sok köze van. A létező anyagi világban azonban az “információ”, az érthetőség, a megismerhetőség tulajdonképpen azonos a létezéssel. A megismerő értelem “optikája” úgy hat, hogy ez a megvalósultság, meghatározottság képességi értelmünknek, az intellectus possibilis-nak a megvalósultságává, meghatározottságává válik. A megismerő értelemnek ezt az “optikáját”  a skolasztikus terminológia  cselekvő értelemnek (intellectus agens) nevezi. Az “optika” szót csak nagyon átvitt értelemben alkalmazható az intellectus agens-re. A cselekvő értelem ugyanis olyan változást idéz elő, amelyet az érzékszervek működésének fizikai, kémiai, biológiai viszonyai önmagukban soha nem idézhetnek elő. Az érzékszervek változásai a cselekvő értelem olyan működését indítják el, amely működésnek az eredménye a megismerő értelemnek az a változása, amelynek következtében ez befogadja a teremtett világ dolgait érthetőségükben, meghatározottságukban. Kanttól eltérően a tomisták szerint ez az érthetőség, meghatározottság, forma nem a cselekvő értelem által létrehozott dolog, mert ezek az érzéki adatok létében jelen vannak, ezek befogadására azonban az érzékszervek képtelenek, mert ehhez szellemi létezés, tudat szükséges. Az érzékelő állat csak egyike az egymással kölcsönható anyagi világ dolgainak, anélkül hogy tudatosan látná ennek a világnak megismerhető meghatározottságait, formáit. Az állat részt vesz a kölcsönhatásokban, ezeket befogadja és újabb hatások kiindulópontja lehet. Az emberi értelem befogadása azonban olyan, hogy tudja azt, hogy mit fogad be.

A fentiek azonban csak az értelem megismerésének első szakaszát írják le. Ebben a szakaszban az értelem befogadja a megismert meghatározottságát, érthető formáját. Ennek a szakasznak tipikus eredménye a fogalom (conceptus). Átvitt értelemben ezt állíthatjuk párhuzamba a fényképezőgép fényérzékeny felületén létrejött képpel. Bizonyos értelemben ez a folyamat tekinthető háttérben lejátszódó, inkább passzív folyamatnak is, amely egy kicsit emlékeztet a transzcendentális tapasztalás háttériségére. A megismerési folyamat záró szakaszában azonban ismereteinket itéletekben, állításokban fejezzük ki. Ez a második szakasz is tipikusan az emberi megismerés sajátossága. A tisztán szellemi létezők (Isten, angyalok) nem szorulnak rá arra, hogy megismerésük lépéseken keresztül haladjon a tökéletesedés felé. Az ember esetében azonban a dolgok lényegének első lépésben megszerzett ismerete olyan ítéletek megfogalmazásában éri el záró szakaszát, amely itéletek kifejezik a dolgok lényege és tulajdonságai közti kapcsolatokat, a dolgok egymás közti viszonyait. Aquinói Szent Tamás szerint az apprehensio-nak nevezett első szakasz tulajdonképpen nem tartalmazhat tévedést, ezért ezzel a szakasszal kapcsolatban az ismeretelméleti igazság, a valóság és ismeret megegyezésének minősítése sem alkalmazhatóak. A megismerés azonban tetőpontját, teljes tudatosságát ítéletek megfogalmazásában éri el. Az első szakaszban megszerzett ismeret itt éri el teljességét. A különböző vagy különbözőnek látszó dolgok összetartozása az állító ítéletekben, a különbségek pedig a tagadó ítéletekben nyernek megfogalmazást. Az ítéletek alkotásában már nem feltétlenül van jelen a külső valósághoz fordulás, itt például szerepe lehet a logikai következtetéseknek is, ezért az ítéletek lehetnek tévesek is. Ezekre már alkalmazható az ismeretelméleti értelemben vett igazság és tévesség minősítése. Tulajdonképpen az ítéletekben csúcspontját elért ismeret tekinthető a kategoriális ismeretnek. A megismerés egységét azonban folyamatának szakaszai nem bontják meg. Ezek a szakaszok ismétlődhetnek és akár párhuzamosak is lehetnek egymással.

Ezen rövid és bevezető áttekintés után folytatjuk az ismeretelmélettel összefüggő témák tárgyalását. Erre azonban majd csak júniusban kerül sor, mert a jövő héttől kezdve, kb. egy hétig nem leszek nagysebességű internet-hálózat közelében.