Egység és sokaság a tomista és transzcendentális metafizikában (2)

Az egység és sokaság kérdése a metafizika egyik fő kérdése. Az egyik előző bejegyzésben röviden ismertettük, hogy hogyan kezeli ezt a kérdést a tomista metafizika. A tomista a kérdés tárgyalásában az ellentmondás elve szerint jár el, megállapítja, hogy az egység és a sokaság nem származhatnak ugyanabból az elvből, mert ha ezt tételeznénk föl, nem az ellentmondás elve szerint járnánk el. Így jut el a tomista metafizika arra az álláspontra, hogy világunk dolgai összetettek, legáltalánosabban véve ezeket a potenciából és aktusból való összetettség jellemzi.

A következőkben a transzcendens filozófia egyik jelentős, magyar képviselője, Weissmahr Béla SJ metafizikájával foglalkozunk. Az egység és sokaság kérdésével kapcsolatban Weissmahr Béla több helyen is kifejtett álláspontja így hangzik: „Ontológiai szempontból nézve a létezők abban egyeznek meg, amiben különböznek, és abban különböznek, amiben megegyeznek” 1. Weissmahr Béla tehát ezen a ponton feladja az ellentmondás elvét és a „dialektikus” álláspontra helyezkedik, aminek következtében álláspontja az értelem egyik „alapösztönével” (lásd a hivatkozott bejegyzést) megy szembe, aminek következtében ez a kijelentés, a német filozófiai hagyomány hasonló kijelentéseivel együtt végül is érthetetlen. Folytatás

Jegyzetek:

  1. Weissmahr Béla: Az emberi lét értelme. Metafizikai értekezések. Akadémiai Kiadó, 2012, 118.o.

Egység és sokaság a tomista és a transzcendentális metafizikában (1)

Az előző bejegyzésben is volt szó a transzcendentális filozófiáról, amelyet régebben transzcendentális tomizmusnak neveztek. Ennek ismeretelmélete régebbi bejegyzések témája volt (itt, itt és itt). Most a metafizika szempontjából hasonlítjuk össze a két filozófiát. Egy transzcendentális metafizikai „rendszer” laírását tartalmazza Weissmahr Béla SJ Ontológia című könyve (Mérleg –Távlatok 1992). 2015-ben Weissmahr Béla filozófiai örökséget méltató kötet jelent meg, „Metafizika Magyarországon? címmel (L’Harmattan – Sapientia, 2015).

A metafizika alapproblémája mind a tomista, mind Weissmahr Béla metafizikája számára az egység és a sokaság, Weissmahr Béla megfogalmazásában a lét egységének és különbségének a kérdése. Persze a két filozófia kiindulása, amint erről a már említett, régebbi bejegyzésekben is szó volt, eltérő. A tomista kiindulása az érzékelhető világban található érthető (intelligibile) fölismerése a sajátosan emberi, érzékelésből kiinduló megismerésben. A transzcendentális filozófiára jellemző az úgynevezett transzcendentális reflexió, amely a megismerő alanyra irányul, és amelyben a nem kategóriális, úgynevezett háttéri megismerés forrása a metafizikai ismereteknek.

A tomista metafizikában fontos szerepet játszik az első elvek készsége (habitus primorum principium). Az első elvek nem velünk született ismeretek, olyan első „tételek”, amelyekből kiindulva aztán fölépíthető valamilyen metafizikai rendszer. Ezek inkább a megismerést kísérő készségek, amelyek tulajdonképpen minden értelmi megismerésben működnek. Az emberi értelem képes a valóságban nem létező dolgokkal is foglalkozni, ezért az egyik ilyen első elv, az ellentmondás elve (principium contradictionis) segíti a megismerő értelmet abban, hogy a létezést meg tudja különböztetni a nem-létezéstől, semmitől. Az elvet a készségre történő reflexió így fogalmazza meg: valami ugyanakkor, ugyanabból a szempontból nem lehet létező és nem-létező. Ennek van logikai megfogalmazása is, amely szerint egy állítás egyszerre, ugyanabból szempontból nem lehet igaz is, meg téves is (a „téves” szó helyett a logika könyvek általában a „hamis” szót szokták használni). A logikai elvet még ki szokták egészíteni a „kizárt harmadik” (tertium non datur) elvével is, amely szerint egy állítás vagy igaz vagy téves, harmadik eset nem lehetséges. Az azonosság elve tulajdonképpen az ellentmondás elvének pozitív megfogalmazása: ami létezik, az létezik, a dolog az, ami. Egy másik alapelv az értelemnek arra a tulajdonságára utal, amely szerint a megértés számára a tények önmagukban nem elegendőek. A megértés keresi az elegendő magyarázatot (principium rationis sufficientis). Ezt az elvet kifejezetten, ezzel a névvel Leibniz fogalmazta meg, de ezt külön megfogalmazás nélkül kezdettől fogva  alkalmazták, éppen úgy, mint az ellentmondás elvét. Míg a tomista metafizika ezeket az alapelveket következetesen használja, ez már nem mondható el a transzcendentális megközelítésekről, amint erről majd a későbbiekben részletesebben lesz szó. Folytatás

Mire jó és mire nem jó a retorzív érvelés ?

A jezsuita blog egyik bejegyzése a retorzív érveléssel is foglalkozik. Ezt az érvelési módot Arisztotelész is használta, amikor az ellentmondás elvének érvényessége mellett érvelt. Aquinói Szent Tamás is foglalkozik ezzel Arisztotelész-kommentárjában 1. A Joseph Marechal, Karl Rahner, Weissmahr Béla és más jezsuita filozófusok által képviselt, kezdetben transzcendentális tomizmusnak 2 nevezett filozófiai irányzat egyik fő érvelési módszere a retorzív érvelés.

Egy állítás igazsága melletti érvelés elsődlegesen azt jelenti, hogy már elfogadott állításokból a logika szabályai szerinti következtetéssel eljutunk az igazolandó állításhoz. Van azonban az érvelésnek egy másik módja is. Ezt az érvelési módot reductio ad absurdum-nak nevezik. Itt nem ismert tételekből kiinduló levezetésről van szó (ezt talán túl hosszú lenne vagy még nem ismerjük a levezetés menetét), hanem arról, hogy az igazolandó állításról feltesszük, hogy téves, azaz, hogy az ezzel ellenkező állítás igaz. Ebből kiindulva megmutatjuk, hogy így lehetetlenséghez jutunk, tehát az igazolandó állításnak igaznak kell lennie. A retorzív érvelés is hasonló ehhez, de eljárása ettől mégis különbözik. Ebben elsősorban nem azt mutatjuk meg, hogy ellenfelünk velünk ellentétes állításának tartalma vezet logikai ellentmondáshoz, hanem azt, hogy az ilyen állítás elgondolásának, megfogalmazásának, kimondásának tette ellentmondásban van az elgondolt, megfogalmazott, kimondott állítás tartalmával, tehát, aki ezt a tartalmat állítja, következetlenül jár el. Ha az antialkoholisták egyesületének díszvacsoráján az elnök kezében egy pohár pezsgővel mondja el beszédét, akkor következetlenségről van szó. Ez a következetlenség azonban nem jelenti a beszéd tartalmának feltétlen helytelenségét, legfeljebb azt, hogy itt azért mégsem következetes antialkoholizmusról van szó. A beszéd tartalma és ennek a pezsgős vacsora keretében való elmondása ugyanis nincsenek annyira szoros kapcsolatban, hogy ez utóbbi ténye cáfolná a beszéd tartalmát. Ha valaki azonban bemondja a mikrofonba, hogy ő néma, akkor már állításának a tartalmát cáfolja az a tény, hogy ő ezt az állítást megfogalmazó mondatot kimondta. Folytatás

Jegyzetek:

  1. John F. X. Knasas: Transcendental Thomist Methodolgy and Maritain’s “Critical Realism”.
  2. Az utóbbi időben ez az irányzat már nem nevezi magát tomistának és ezt helyesen teszi. A transzcendentális filozófia ismeretelméletéről már több régi bejegyzésben volt szó.

Hol léteznek a háromszögek?

Az előző bejegyzésben szó volt a megismerés három fajtájáról: a fizikai, matematikai és a metafizikai megismerésről. Részletesen foglalkoztunk a matematikai megismeréssel, amely különbözik a fizikai megismeréstől. Ez utóbbiban a dolgok tér és idő adott pontjához kötödő érzékeléséből indulunk ki, de ennek a konrétségétől elvonatkoztatunk, ez tehát nem lesz ismeretünk része, de az általában vett érzékeléstől nem tekintünk el. Tehát az általánosabb, filozófiai értelemben vett fizika továbbra is az érzékelhető anyagról szól, de az itt és most történő érzékelés egyedisége nélkül. Az állandóan mozgó világban ezen elvonatkoztatás segítségével felfedezhetjük az időben megmaradó szubsztanciát, továbbá a dolgok bizonyos csoportjainak közös viselkedését megalapozó lényegadó formát. Ezek az érzékelés számára közvetlenül föltárhatatlan dolgok, ezek felfedezése értelmünk műve.

Az állandóan változó világban azonban olyan mennyiségekre vonatkozó formákat is felfedezhetünk, amelyek ugyan az érzékelhetőség által nyilvánulnak meg, ezeket feltételezi az érzékelhetőség, de ők maguk már nem feltételezik az érzékelhetőséget. Így ezekkel a formákkal ugyan először az érzékelésen keresztül találkozunk, de ezek megértésében elvonatkoztathatunk az érzékeléstől. Így az ezen formákra vonatkozó tudás, tudomány is általános érvényű, időtlen lesz. Míg a szubsztancia, a lényegadó formák megmaradása, bizonyos állandósága valóságos, ezek a valóságos világban maradnak meg, addig ezek a mennyiségi, alakra vonatkozó formák a valóságos világban sok átalakuláson mennek keresztül, állandóságukat csak annak köszönhetik, hogy valamilyen értelmi létezést nyernek, számokká, „absztrakt” pontokká. szakaszokká, egyenesekké, körökké, háromszögekké stb. válnak. A matematika eléggé elterjedt platonista felfogása szerint ezek esetében nem csupán értelmi, hanem valóságos létezésről van szó, de ez a létezés különbözik anyagi világunk létezésétől. A platonista álláspont meg tudja magyarázni a matematika tárgyainak absztrakt, változatlan, időtől független létezését, de nem tud számot adni arról, hogy a világban miért érvényesülnek a matematika tételei (igaz, hogy csak megközelítőleg). Annak a magyarázata is hiányzik, hogy mi hogyan jutunk matematikai ismereteink birtokába 1.

A megismerésünkben lévő matematikai formák esetében felmerül a kérdés, hogy ezek minek a formái. Ezzel kapcsolatos még a formák és a matematika tárgyai közti viszony kérdése is. A matematikai tárgyai esetében beszélhetünk-e olyan értelemben egyediségről, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza, ahogyan a konkrét emberek esetében a közös forma az „emberség” formája? A geometria esetében erre igenlő választ kell adnunk, mert több, egymástól különböző pontról, egyenesről, síkról, háromszögről, körről stb. beszélhetünk, sok geometriai tétel ilyenekre vonatkozik. Tehát a matematikában is előfordul, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza. Az anyagi világban az egyedesülés elve, a principium individuationis az az anyag, amely megformálva mindig mennyiséggel, kiterjedtséggel rendelkező anyag és így a dolgokat, a megformált anyagot a kiterjedtség (meg az időbeli létezés) elválasztja egymástól. De mi az egyedesülés elve a matematika objektumaival kapcsolatban?

Az egyedesülés elve valamilyen olyan befogadó képesség (potentia), amely többször is képes ugyanazt a formát befogadni, így a formák befogadása által különböző létezések állnak elő. A tisztán szellemi létezés formákat befogadó anyag nélküli létezés. Ezért van az, hogy az angyali létezésben egy forma csak egyetlen „egyed”, egyetlen angyal által van képviselve. A kérdés a matematikai tárgyaival kapcsolatban az, hogy itt mi az a lehetőség, az az „anyag”, amely lehetővé teszi ugyanannak a formának többszöri, egymástól különböző létezést eredményező befogadását. Tehát, például mi fogadja be a pont, az egyenes formáját?

A megismerés szintjén a dolgok formáját az értelem mint képesség (intellectus possibilis) fogadja be, így tehát értelmünkben ugyanaz a forma van, ami az anyagi világ dolgaiban. Ezek a formák azonban az elvonás (absztrakció) által nyert közös formák, amelyek a világ dolgainak összetettségében jelen vannak. Így értelmünk általános ismerete az emberre vonatkozik, de nem közvetlenül az egyes emberekre. Értelmünk az egyes ember ismeretéhez úgy jut el, hogy visszafordul az érzékeléshez, pontosabban az ezekből nyert képzetekhez (conversio ad phantasmata) és ezeket köti össze az általános fogalmakkal. Így jutunk el (a sokszor emlegetett) Szókratésznak, az embernek ismeretéhez. Ehhez hasonlóan megvan értelmünkben a szám, a pont, az egyenes, a háromszög stb. általános fogalma, de hol vannak a számok, a pontok, az egyenesek, a háromszögek? Ha a fent említett nehézségek miatt ezeket nem helyezzük valamilyen platóni világba, akkor meg kell találni azt a „közeget”, ahol ezek vannak. Ezt a külső világban nem találhatjuk meg, mert, mint említettük, ezek a formák ugyan innen származnak, de mégis olyan általánosságot, idő fölöttiséget nyernek, amelyet a külső világban ezekkel a a formákkal kapcsolatban nem találunk meg. A „közeget” tehát bennünk, a megismerőben kell keresni. Értelmünk önmagában véve, tehát ha eltekintünk az érzékelés képességétől, nem lehet helye a matematika egyedi tárgyainak, mert ebben csak az általános fogalmak vannak meg. Tehát itt megvan a pont, az egyenes, a kör, a háromszög általános fogalma, de itt nem lehetnek a pontok, egyenesek, körök, háromszögek. Itt nem lehet ez a pont, ez az egyenes, ez a kör, ez a háromszög. Marad tehát az embernek az érzéki megismeréshez tartozó képessége. Egy előző bejegyzésben már szó volt arról, hogy itt tulajdonképpen két szintről, a külső és belső érzékelésről beszélhetünk. A külső érzékelés az érzékszervek szintje. Szemünk különböző színes foltokat lát, fülünk különböző hangokat hall stb. A belső érzékelésben ezek az „adatok” összeállnak annak a valaminek az egységes érzéki benyomásává, „képévé”, képzetévé, amiből majd a megismerés folyamán az éppen ugató Mackó kutya ismerete lesz. A belső érzékelés képzetei bizonyos értelemben véve elszakadnak a konkrét időpontban és helyen történő érzékeléstől, ezek a közvetlen érzékelés hiánya esetén is felidézhetőek. A belső érzékeléshez tartozik még az állatoknál az ösztönös értékelő képesség (vis aestimativa), amely abból a szempontból értékeli a képzetet, hogy ez jó vagy pedig valamilyen veszélyt jelent az állat számára, ahogyan például a bárány veszélyesnek értékeli a farkas képzetét. Az ember esetében ennek az ösztönös értékelő képességnek a helyét már az értelemtől áthatott, egyedi helyzeteket és általában az egyediséget kezelő képesség (vis cogitativa) veszi át. Az ember esetében a belső érzékelés tehát az a határterület, amelyen az érzékelés és az értelem már szorosan együttműködnek, így ez alkalmas lehet a szintén határterületen lévő egyedi matematikai tárgyak befogadására. A matematika tárgyainak helyét Aquinói Szent Tamás későbbi írásaiban már egyértelműen a belső érzékelés területére, a képzeletbe helyezi 2.

Az előző bejegyzésben említettük, hogy Aquinói Szent Tamás a matematikai objektumaival kapcsolatban beszél az értelmes anyagról, szembe állítva ezt az érzékelhető anyaggal, amely által közvetlenül a dolgok érzékelhető minőségeit ismerjük meg, majd pedig ezekből az egyediség elhagyásával eljutunk a szubsztancia, a lényegadó forma megismeréséhez. Az értelmes anyag, amely tulajdonképpen az általános értelemben vett szubsztancia, a matematika tárgyainak megértése szempontjából nélkülözhetetlen. Ez az az „anyag”,  képesség, amelyből a matematika tárgyai megformálódnak, a képzeleten belül egyedi létet nyernek. Ez az „anyag” fogadja be a különböző (általános) matematika formákat és így keletkeznek a matematika egyedi tárgyai (ez a pont, ez az egyenes), amelyekről aztán a matematika általános tételei szólnak. Ez a befogadás tehát a képzeletben történik, képzeteink ugyanis nemcsak az érzékelés hatására keletkeznek, hanem ez az értelem (és akarat) irányítása alatt is megtörténhet. A címerek például először, ilyen tárgyként (a mitológikus vagy más jelképes motívumokból összerakva) a világban sehol sem léteznek. De a művész tevékenysége alapján ezek képzetként előállnak, majd a képzet alapján a szobrász, a festő munkájaként, az ember alkotásaként a valóságban is megjelennek. De említhetnénk az épületeket is, sőt minden műszaki tevékenység, tervezés által előálló dolgot is.

A matematika tárgyai tehát a képzeletben vannak. Ezek egyformaságáról. egyöntetűségéről az kezeskedik, hogy egyrészt ezek végső fokon a valóságban meglévő formák elvonásával keletkeznek, másrészt az őket elvonó és létrehozó emberi értelem és az ezáltal irányított képzelet működése mindenkiben alapjában véve ugyanaz. Hogy a matematikai tevékenység mennyire a képzeletre van utalva, az is tanúsítja, hogy a matematikai (geometriai) megértéshez szinte nélkülözhetetlenek az ábrák. Egy másik erre utaló dolog a matematikai jelölések fontossága. A matematika jelei mintegy érzékileg megfoghatóan utalnak a matematika tárgyaira, utalnak egy adott tárgy képzeletben történő létrehozására („legyen X egy olyan…”). A jelölések fejlődése fontos szerepet játszik a matematika történetében. A görög matematika jelölések hiányában nem tudott akkora előrehaladást tenni az algebrában, számelméletben, a differenciál- és integrálszámításban (analízisben), mint a geometriában, jóllehet a kiinduló ismeretek már adottak voltak. Még a legabsztraktabb matematikai objektumok esetén is a matematikus a képzeletére van utalva. Ebből kiindulva fejleszti ki meghatározásait és bizonyításait, jut el az általános fogalmakhoz, az általános megfogalmazott tételek bizonyításához.

Képzeletünkben nincsenek egyszerre jelen ennek lehetséges tárgyai. Egy régen nem látott ismerősünk képét abból a „tárházból” emeljük ki, amelyben nem aktív képzeteink tárolódnak. A matematikai képzetekkel kapcsolatban ezt a tárházat az a képesség helyettesítheti, amely az értelmünk által irányítva a matematikai objektumok képzeletünkben való létrehozásának a képessége.

Ezekre a témákra még későbbi bejegyzésekben visszatérünk.

Az érthető és az érzékelhető anyag

Több régebbi bejegyzésben foglalkoztunk már a matematikai ismeretek eredetével, a matematikai ismeretek eredetének kérdésére azonban kimerítő és teljes választ nem adtunk. Ebben a bejegyzésben ismét ezt a témát vesszük elő. A bejegyzésben igyekszünk a témát úgy folytatni, hogy ehhez ne legyen feltétlenül szükséges a témával foglalkozó előző hat bejegyzés átolvasása, ezért ismétlésekbe is bocsátkozunk. A mostani bejegyzés épít az Arisztotelésztől származó, Aquinói Szent Tamás által intenzíven használt érthető anyag (materia intelligibilis) fogalmára (Super Boetium De Trinitate q. 5 a.3, ST I. q. 85 a. 2 ad 2). Először ezzel a fogalommal foglalkozunk

Márt többször volt szó a blogon a hülémorfizmusról, azaz az anyagból és formából való összetettségről. Eszerint minden, amivel találkozunk világunkban, két egymástól megkülönböztethető, de nem feltétlenül fizikailag elválasztható összetevőből áll: anyagból és formából. Az anyag-forma összetettség általánosabban megfogalmazva a képességből és a megvalósultságból, ténylegességből való összetettségre utal. (Ezekkel a fogalmakkal több régebbi bejegyzés is foglalkozott. Ezek közül most egyet említek meg, amelyben ezek együtt fordulnak elő. Arra is felhívjuk azonban a figyelmet, hogy itt még a képesség fogalmára a „lehetőség” szót használtam, ezt azonban időközben lecseréltem le a „képesség” szóra, amely a fogalomnak  jobban megfelelni látszik. De még ezzel sem vagyok teljesen elégedett.) A képesség (potentia) valami befogadására való képesség, ez a ténylegességet, a megvalósultságot (actus) megelőző létezés. A tényleges létezés tehát nem a semmiből „ugrik elő”, ezt már megelőzi a képességi létezés, amely befogadja a tényleges létezést. Ezt a viszonyt többször az anyag-forma viszonnyal fejezik ki. A szó szoros értelmében vett anyag, az elsődleges anyag (materia prima) a lényegadó formát (forma substantialis) fogadja be és így létezik az önállóan létező dolog, a szubsztancia.

A szubsztanciától valóságosan különböznek, de ebben léteznek ennek járulékai (accidentia). A járulékokat először Arisztotelész „kategorizálta”, sorolta osztályokba. Ebből kiindulva ismeri a skolasztika a tíz kategóriát, amelyek közül az első maga a szubsztancia. Ezek a kategóriák: szubsztancia, mennyiség, minőség, vonatkozás, tevékenység, szenvedés (más tevékenysége hatásának a befogadása), hely, idő, helyzet, állapot. Most ezekkel részletesen nem foglalkozunk. A szubsztanciától eltekintve, a kilenc kategória osztályokba sorolja az egy szubsztanciáról állítható dolgokat. Ezek nem azonosak a szubsztanciával, ezek a járulékok mintegy a szubsztanciából „nőnek ki”, ezeket a szubsztancia hordozza. Témánk szempontjából fontos, hogy a szubsztancia és járulékai között a viszony a képesség és a ténylegesség, az anyag és a forma közti viszony. Tehát az „első ténylegesség” a szubsztancia, amely keletkezik, a második ténylegességek pedig ennek járulékai, amelyek a szubsztanciának adnak új formát, de ez a forma nem a lényegadó forma, hanem csak járulékos (akcidentális) forma. Azáltal, hogy a víz 20 fokról 50 fokra felmelegszik, nem szűnik meg víz lenni, de a hőmérséklete megváltozik. Ilyen értelemben beszélhetünk arról, hogy a szubsztancia valamilyen értelemben anyagként viszonylik járulékaihoz, hiszem a járulékok új (járulékos) formát adnak a szubsztanciának.

Maga a szubsztancia (és a lényegadó forma) közvetlenül nem hozzáférhető megismerésünk számára. Megismerésünk eredete az érzékelésben van. Amit érzékelünk, azok a látható, hallható, tapintható, ízlelhető, szagolható minőségek, tehát járulékok. A megtapasztalható járulékokban, elsősorban a minőségekben a megformált anyag érzékelhetősége jelenik meg. Tehát a minőséggel kapcsolatban beszélhetünk érzékelhető anyagról (materia sensibilis). Ami közvetlenül az érzékelés alá esik, az az itt és most érzékelhető anyag. De beszélhetünk az általános értelemben vett érzékelhető anyagról is, amikor elvonatkoztatunk a érzékelés konkrétságáról és erről általánosságban beszélünk. Az általános érzékelhető anyagot közvetlenül nem találjuk meg a világban, ez csak értelmünkben létezik. Erről van szó, amikor azt mondjuk, hogy az ember anyagi létező. Az általános értelemben vett érzékelhető anyag fogalmában tehát elvonatkoztatunk az itt és most egyedileg érzékelhetőségtől, de nem magától az érzékelhetőségtől. Az ilyen általános fogalmak önállóan nem léteznek, de mégsem önkényesen alkotott fogalmak ezek, mert a valóságon alapulnak. Ezek értelmünkben léteznek, de van alapjuk a valóságban (ens rationis cum fundamento in re).

A tomista filozófia szerint a szubsztancia járulékai között bizonyos sorrendiség van. A minőségek föltételezik a mennyiséget, mert például a piros szín minősége alatt mindig valamilyen mennyiség kategóriájába tartozó dolog áll, a piros mindig valamilyen felületnek a színe. A mennyiség (szám, alakzat, felület stb) járuléka tisztán, csak önmagában soha sem jelenik meg érzékelésünk számára, ez mindig valamilyen minőségen keresztül mutatkozik meg. Így tehát mondhatjuk azt, hogy a minőség föltételezi a mennyiséget, de ez fordítva nem áll, a mennyiségről beszélhetünk a minőség nélkül, ez megérthető a minőség és így az érzékelhető anyag nélkül is. A mennyiség vizsgálatában tehát elvonatkoztathatunk a minőségtől és így az érzékelhető anyagtól. Azonban a mennyiségről sem beszélhetünk az alatta álló szubsztancia nélkül. A valóságban mindig valaminek a mennyiségéről van szó. A mennyiség tudománya a matematika tehát eltekinthet a minőségtől, az érzékelhető anyagtól, de nem tekintet el a szubsztanciától, amely, mint föntebb mondottuk, képességként, anyagként viszonyul ahhoz, ami a szubsztanciának (járulékos) formát adó mennyiség. Szubsztancia lehetne mennyiség nélkül is (ilyen például az anyag nélküli, angyali szubsztancia), de mennyiségről nem beszélhetünk az őt hordozó szubsztancia nélkül, enélkül a mennyiséget megérteni nem lehet. Ilyen értelemben beszélhetünk a szubsztanciáról mint arról az érthető anyagról (materia intelligibilis), amely nélkül a mennyiség nem érthető meg, amely nélkül nincs mennyiségekről szóló tudomány, matematika sem. Amint az érzékelhető anyaggal kapcsolatban is beszéltünk általános értelemben vett és egyedi érzékelhető anyagról, ugyanúgy az érthető anyag esetében is beszélhetünk általános értelemben vett és egyedi érthető anyagról is. A mennyiség számára az egyedi érthető anyag az a konkrét szubsztancia, amelynek éppen valamilyen mennyiségéről van szó. A matematikában nyilván nem az egyedi, hanem az általános értelemben vett érthető anyagról van szó.

Az általános értelemben vett érthető anyag értelmünk fogalma, ez külső világunkban valóságként nem létezik, de mégis utal ez arra a valóságra, amely a mennyiségeket hordozza, ami tulajdonosa a mennyiségeknek. Tehát itt is olyan csak értelmünkben létező dologról van szó, amely azonban a valóságban van megalapozva. Tehát ez sem olyan önkényes terméke értelmünknek, mint például a szárnyas ló, a pegazus.

A matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatban a matematika filozófiájában többféle álláspont van. Az egyik ilyen álláspont, a matematikai platonizmus  szerint a matematika világa értelmünktől és az anyagi valóságtól függetlenül létező világ. Ezen álláspont érvei közé tartozik, hogy a matematika sok (sőt talán a modern matematika legtöbb) objektumának nincs megfelelője a külső valóságban. A külső valóságban nem találkozunk végtelen halmazokkal, négy vagy akár száz dimenziós terekkel, képzetes számokkal. De még igazi pontokkal, egyenesekkel, körökkel sem találkozunk, mert amit a valóságban pontnak tekintünk, az nem kiterjedés, dimenzió nélküli valami, hanem ez egy kicsi folt, amelynek ráadásul még vastagsága van. Hasonló a helyzet az egyenesekkel, körökkel, háromszögekkel, sokszögekkel stb kapcsolatban is. A platonista elképzelés egyik nehézsége az, hogy nem tudja világosan megmagyarázni, hogy miért és hogyan van mégis kapcsolat a matematika platoni világa és a mi világunk között, továbbá hogyan van az, hogy képesek vagyunk megismerni ezt a platoni, anyag nélküli világot.

A matematikai tárgyak realitásának léteznek a platonizmustól különböző, más felfogásai is. Egy ilyen elképzelést ismertet James Franklin könyve (An Aristotelian Realist Philosophy of Matematics). James Franklin hangsúlyozza, hogy a matematikai fogalmak a bennünket körülvevő világból erednek, de mégis elismeri, hogy a matematikai tárgyai jelentős részének nem találjuk meg közvetlen megfelelőjét külső világunkban. Ezért a matematikával kapcsolatban szemiplatonista arisztotelizmusról beszél.

A következő bejegyzésben az érthető anyag fogalmára támaszkodva közelítjük meg a matematika tárgyainak világát. Szerintünk ugyanis ez az a fogalom, amely megjelöli azt az „anyagot”, amelyből megformálódnak matematikai fogalmaink, a matematika tárgyai. Az érthető anyag, mint említettük, tulajdonképpen valamilyen általános értelemben vett szubsztancia. Az érthető anyag fogadja be értelmünk munkájának hatására azokat a formákat, amelyekkel a matematika foglalkozik. Ezek a formák részben a körülöttünk lévő világból származó absztrakció hatására alakulnak ki, de maga az értelem is kialakíthat ezekre támaszkodva, de ezeken túl is lépve új formákat, amelyeknek közvetlen megfelelőit nem találjuk meg a külső világban. Előfordul azonban, hogy váratlanul ezek a formák döntő módon segítenek a külső világ fizikai megismerésében, utalva arra, hogy azok az összefüggések, amelyeket értelmünk feltár a matematika különböző objektumai között, megfelelnek a külső világunkban is jelenlévő összefüggéseknek.