Kissé hosszúra nyúlt sorozatunk befejező részében a geometria tárgyainak eredetével foglalkozunk. Eddigi bejegyzéseink szerint a matematika tárgyai értelmünk olyan formái, amelyek a maguk tisztaságában nem fordulnak elő anyagi világunkban, de anyagi világunk formái vezetnek ezekhez a tiszta, csak értelmi létezéssel bíró formákhoz. A geometria tárgyai esetében ez talán még nyilvánvalóbb, mint az aritmetika vagy a természetes számok esetében. Az anyagi világban találkozunk pontokhoz, egyenesekhez, görbékhez, síkokhoz, felületekhez hasonló formákkal, ezek azonban nem tiszta formák. Amit pontnak vélünk az anyagi világban, kiterjedéssel rendelkezik, ellentétben a geometria pontjával. Az anyagi világ egyeneseinek, görbéinek sokszor van szélessége is, tehát nem egydimenziósak. A geometriai vonalaihoz leginkább hasonlókkal még a testek fizika törvényei szerinti mozgásuk folyamán leírt pályákban találkozunk, de ezek között sem találjuk meg például a tökéletes egyenest, vagy az adott görbét úgy, ahogyan ezt a matematika meghatározza, hiszen a valóságos helyzetekben a fizika törvényei sokszor csak közelítően érvényesülnek.

A geometria tárgyaihoz elvezető matematikai absztrakcióban még egy érdekes dologgal találkozunk. Az anyagi világban kiterjedt és mozgó tárgyakat találunk. A kiterjedés és a mozgás következtében ezek a tárgyak vonatkozásban (relációban) vannak egymással. Egyik tárgy elfoglal egy helyet, amelyet egy másik tárgy nem foglalhat el, egyik tárgy közvetlenül a másik mellett lehet és így határosak egymással, egyik tárgy egy másik tárgyhoz közelebb lehet, mint egy harmadik tárgy stb. Értelmünk felfogja ezeket az anyagi világban valóságosan létező relációkat, amelyekből rendkívül sok van, amelyek átszövik az anyagi világot. Értelmünk ezen relációk sokaságát valamilyen egységbe akarja hozni és így megalkotja a tér fogalmát, amely mintegy tartalmazza a tárgyakat és amelybe, mint egy egységes közegbe, elhelyezhetők ezek a relációk.  Az anyagi valóságban nincs tér, ez csak értelmünkben létezik, de nem önkényes képződmény, hanem az anyagi valóságon alapul: ens rationis cum fundamento in re. A tér fogalma értelmünk alapvető fogalma az anyagi világ hétköznapi felfogásával, megértésével kapcsolatban is. Tulajdonképpen ez a tér az alapja a geometriai tér fogalmának, amelyben elhelyezkednek a geometria különböző tárgyai. Most csak röviden megemlítjük, hogy a térhez hasonlóan az idő sem tekinthető az anyagi világban valóságosan létező dolognak. Ugyanakkor sem a tér, sem az idő nem tekinthetők valamilyen eleve adott, a priori formáknak, mert a tér és idő ugyan értelmünk formája, de ez a forma az anyagi valóságban lévő formákra alapozódik. Az idő alapja a valóságban megtapasztalható változásokban van, amelyek következtében valóságosan megtapasztalható relációt jelentenek az “előtte”, “utána”, “korábban”, később” stb. szavaink. Ezeket a relációkat értelmünk alkotása, az idő fogja egységbe, amely egységnek feltétele az az értelmes létezés, amely számára van múlt, jelen és jövő.

A matematikai absztrakció által képzett formák tehát az anyagi világban lehetőségként vannak jelen, de ez a lehetőség nem az anyagi világ anyagi okok által megvalósítható lehetősége. Ez tulajdonképpen az anyagi világról való ismereteinkben rejlő lehetőség. A mai geometria az általunk megszokott euklideszi terek mellett ezek alternatíváit is, a nem euklideszi tereket is ismeri. Tehát geometriai terekből több is van és éppen a modern fizika és kozmológia veti fel azt a kérdést, hogy az Univerzumra vajon melyik tér alkalmazható. Mint láttuk, a tér fogalma az anyagi világban valóságosan meglévő relációkra épül. Ezekről a relációkról szóló ismereteink érzékszerveink adataiból indulnak ki. Ismereteink abba az irányba vezetnek, hogy az érzékszerveinkkel közvetlenül “befogható” világ euklideszi szerkezetű és ezért a megszokott, évezredek óta használt térszemléletünk euklideszi. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az Univerzumban érvényes geometria feltétlenül euklideszi szerkezetű lenne. Ez csak annyit jelent, hogy érzékszerveink szokásos hatóterületén belül az esetleges nem-euklideszi szerkezet nem észlelhető. (A Föld görbületét sem észleljük mindennapi életünkben.) A 19. század folyamán több matematikus (például Gauss, Bólyai, Lobacsevszkij) felismerte azt, hogy az euklideszi geometria híres párhuzamossági axiómája helyettesíthető más axiómákkal is úgy, hogy így felépíthetők nem eulideszi geometriák is. Lokális tapasztalataink azonban nem utalnak szükségszerűen arra, hogy világmindenségünkre nem az euklideszi geometria alkalmazható. Erről csak a közvetlen tapasztalatainkat jelentősen meghaladó nagyon nagy (vagy nagyon kis) méretek esetében lehet szó.

Amint az előző bejegyzésekben láttuk, a matematikai absztrakció az emberi megismerés igen sajátos területe. Az az absztrakció, amelyben csak a dolgok konkrétságától, az érzékelés tértől és időtől függésétől tekintünk el, olyan formák megismerését eredményezi, amelyek az anyagi világ valóságos formái. Tipikusan ilyen formák a lényegadó formák (formae substantiales), amelyek a magukban létező dolgok (szubsztanciák) formái. Amint arról már több bejegyzésben is szó volt, ezek a formák közvetlenül formálják meg az elsődleges anyagot (materia prima), így biztosítva a magában álló dolog egységét. Ez az egység az anyagi létezéssel szükségszerűen együttjáró összetettség miatt abban is megmutatkozik, hogy például az anyagi világban található legmagasabb egység formájába, az ember formába más formák is beépülnek. Ezek közül egyesek bizonyos tulajdonságok formái. Más formák beépülő részek formái. Ilyenek a szervek, sejtek, molekulák, atomok, elemi részek formái. Ezek a formák nem önálló, lényegi formák, hanem csak beépülő részek formái. A természettudományok vizsgálják a teljesebb formák más formákból való felépülésének módját. Ez a megközelítési irány jogos és az elmúlt évszázadokban nagy sikereket ért el, a technológia, a gyógyítás olyan fejlődését tette lehetővé, amely hatalmas változásokat hozott. Ugyanakkor a teljesebb formák, köztük a lényegadó formák soha sem lesznek teljesen érthetőek a természettudományok “redukciós” kutatásainak eredményeként. A kevésbé fejlett formák fejlettebb formákban való összehangolt működése nemcsak egyik oka, hanem jele is a fejlettebb forma egységének. A természettudomány, elsősorban a fizika egyre kevésbé “fejlett” formák után kutat, ezek tulajdonságainak a felderítésével foglalkozik. Ez a kutatás azonban soha nem jut el egy olyan elemi formához, amelynél már nincs elemibb forma. A matematikai absztrakció viszont eléri azokat a formákat, amelyek a mennyiség minden anyagi létezőben jelenlévő formájára vonatkoznak. Ezek a formák azonban a maguk tisztaságában már nem lehetnek az anyagi valóság formái, ezért a matematika világa egy ideális világ, amelynek gyökerei azonban az anyagi valóságban vannak. Ez a magyarázata annak, hogy az elemibb formákat kutató fizikában olyan sikeres a matematika alkalmazása, hiszen a fizika formáinak tartalmát mindössze néhány, csak mennyiségileg jellemezhető tulajdonság alkotja, ezért ezek jól modellezhetők a matematika ideális világának segítségével. A matematikai tárgyak ontológiai helyzetének vizsgálata így elvezet a fizika tárgyai ontológiai helyzetének vizsgálatához. Régebbi bejegyzések (itt és itt) már foglalkoztak ezzel a témával és terveink szerint ilyen bejegyzések még a jövőben is lesznek.

Az előző bejegyzésben említettük, hogy a természetes számokkal kapcsolatban lehet beszélni valamilyen egységről és különbözőségről. A megszámolt valamik valamiben egyek, ez alapján tekintjük őket a számolásnál valamilyen értelemben összetartozónak. Ugyanakkor különböznek is, mert ha nem különböznének, akkor a számolás az egyes számnál befejeződne. A továbbiakban egy olyan különbségről lesz szó, amely anyagi világunk alapvető jellemzője. Ez a különbség az egyedek különbsége. Ha a megformálatlan anyagról, az elsődleges anyagról (materia prima) beszélünk, akkor ezt formák befogadására való képességként jellemezhetjük. Ez a képesség azonban nem egyetlen forma, hanem több forma befogadásának a képessége. Az is előfordul, hogy ugyanaz a forma többször formálja meg az elsődleges anyagot, ez a helyzet például a kutya-formával vagy az elektron-formával. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha ugyanazon forma általi többszöri megformáltságok valamiben különböznek egymástól. Ez a különbség nem származhat a formától, hiszen ez ugyanaz. Ebből következik, hogy a különbség  az anyagból ered, ezért a tomista álláspont szerint az egyedesedés, az individuáció elve (principium individuationis) az anyag. Az anyag tehát képes a forma által képviselt egységbe valamilyen megkülönböztetést vinni. A konkrét egyedek közötti különbség mindennapi tapasztalatunkban legalapvetőbben abban mutatkozik meg, hogy ezek nem foglalhatják el ugyanabban a pillanatban ugyanazt a helyet. Az anyagnak az a lehetősége, hogy a forma azonosságának az egységébe megkülönböztetést vigyen, valamilyen külön, első formaként nem valósul meg. Itt tehát egy valóságos lehetőségről van szó, amelynek azonban tiszta, más formákat nem feltételező megvalósulása nem létezik a tapasztalható világban. Ennek oka az, hogy tartalom-nélküli különbségről, mint tisztán megvalósuló formáról nem lehet beszélni az anyagi valósággal kapcsolatban. Ugyanakkor a matematika világában lehet beszélni ezen lehetőség (és a rá épülő lehetőségek) tiszta formakénti megvalósulásáról, mert itt már a tartalom nélküli különbség feltételezése is elegendő a matematikai tárgyak létéhez. Így például a halmazelmélet halmazai esetében elegendő annak feltételezése, hogy ezen halmazok elemei különböznek, nincs arra szükség, hogy konkrétan megjelöljük azt, hogy miben áll ez a különbség.

A matematikai ismeretek eredetéről szóló bejegyzések sorozatát ezzel a bejegyzéssel egyelőre befejezzük, anélkül, hogy egy részletesen kidolgozott álláspontot alakítottunk volna ki. Megjegyezzük, hogy bejegyzéseinkben most csak a matematika anyagi világgal legszorosabb kapcsolatban lévő tárgyaival, az aritmetikai és geometriai legalapvetőbb tárgyaival foglalkoztunk. Amint említettük, a megismerés tárgyai lehetnek maguk az ismeretek is (secunda intentio). Ezek alapján a matematika számára újabb, még “absztraktabb” tárgyak keletkezhetnek. Ezekben a bejegyzésekben erről sem volt részletesebben szó. Még azt is megjegyezzük, hogy a bejegyzésekben vázolt megközelítés korántsem mondható minden részletében a tomista iskola egyöntetű álláspontjának. Ilyen, teljes egészében kidolgozott álláspontról még nem beszélhetünk. A témával kapcsolatban megemlíteném Jacques Maritain The Degress of Knowledge című könyvének témával foglalkozó részeit és Armand Maurer cikkét.

Az előző bejegyzésekben eljutottunk ahhoz a megállapításhoz, hogy a matematika tárgyai ugyan eredetüket tekintve szoros kapcsolatban vannak az anyagi világgal, mégis ezek a tárgyak már nem viselik magukon az anyagi világ jegyeit, ezek csak értelmünk formái. Szó volt arról a különbségről, amely az absztrakció első és második fokozata között van. Az első fokozat csak az érzékelés konkrétságától, tértől és időtől való függésétől tekint el, de az elvont, absztrahált formák az anyagi világban valóságosan létező formák. Így a kutyaság, mint lényegadó forma valóságosan megformálja az anyagot, amely megformált anyag ezen forma miatt kutya. A kutya forma azonban, a platonistának nevezett véleménytől eltérően, önmagában, konkrét kutyák nélkül nem létezik, de ott van minden egyes kutyában valóságos metafizikai összetevőként. A matematikai absztrakció folyamán keletkezett formákat azonban tiszta állapotukban nem lehet az anyag valóságos formáinak tekinteni, mégis ezek a formák nem az anyagi valóságtól függetlenül, ettől elszakadva keletkeznek.

A következőkben az aritmetika legalapvetőbb fogalmát, a természetes szám fogalmát elemezzük abból a szempontból, hogy mi ennek az alapja az anyagi valóságban. (Természetes számok a pozitív egész számok, tehát az 1,2,3…) Az egynél nagyobb természetes számokat tartalmazó állításokban megtalálható az egységnek és a különbözőségnek valamilyen mozzanata. “Az öt birka legel a réten” állításban például az egységet az jelenti, hogy a birkák egy konkrét réten éppen legelnek. Ugyanakkor különbözőségről is szó van. Ezt a különbséget fejezi ki például az a tény is, hogy az öt birka a térben a rét különböző helyein legel. Ha nem lenne különbség köztük, akkor csak egyetlen birka legelne. Ez az egység és vele együtt a különbség is az anyagi világ valósága. “A parkolóban öt autó áll” állításban hasonlóan felfedezhető az egység mozzanata: az autók a parkolóban állnak. Ugyanakkor megtalálható a különbség is: az autók különböző parkolóhelyeken állnak, mert csak így lehet több autóról szó. (Meg kell azonban jegyeznünk, hogy az egység és különbözőség állításával nem adjuk fel az ellentmondás elvét, mert az egységet és különbözőséget nem ugyanarról, ugyanabból a szempontból állítjuk.) A két helyzet (öt birka a legelőn, öt autó a parkolóban) között azonban van valamilyen hasonlóság. Ez a hasonlóság lehetőséget ad arra, hogy az autók elmenjenek a legelőre és minden autó hazaszállítson egy birkát. A szállítás folyamán az összes autót használtuk, az autók csak egy birkát szállítottak és minden birka hazakerült. Ha a parkolóban csak négy autó lett volna, akkor egy birka a legelőn maradna. Ha viszont hat autó lett volna a parkolóban, akkor egy autó birka nélkül ment volna el a legelőről. Tehát a két helyzet között van valami hasonlóság, ez a hasonlóság valamilyen lehetőségben vagy lehetőségekben mutatkozik meg. Ezeknek a lehetőségeknek nem kell ténylegesen is megvalósulniok, értelmünk mégis felismeri ezeket, ezekre utal a természetes számokkal, jelen esetben az ötös számmal. Amikor tehát az ötös számot használtuk különböző helyzetekben, akkor ezzel olyan lehetőségekre utaltunk, amelyek valamilyen módon “összehozzák” az öt valamiket, legyenek ezek  birkák, autók, felhőkarcolók stb.

Láttuk tehát, hogy a szám fogalma feltételez valamilyen egységet és különbözőséget. Megjegyezzük, hogy az egységet az is biztosíthatja, hogy mi jelőljük ki  azokat a tárgyakat, amelyeket például megszámolunk. Ez történik például akkor, amikor kiválasztunk két birkát az ötből. Ilyenkor az (új) egység alapja a mi választásunk. A természetes szám fogalmában azonban eltűnik az egység és különbözőség konkrét tartalma, ezért beszélhetünk öt birkáról és öt autóról, függetlenül attól, hogy ezekben az esetekben mi az egység és különbözőség konkrét tartalma. Ezért a természetes szám nemcsak az anyag legalapvetőbb tulajdonságával, a mennyiséggel kapcsolatban használható, hanem beszélhetünk a nem anyagi létezéssel kapcsolatban is számosságról. Így beszélhetünk a hét arkangyalról, akik közül hármat említ a Szentírás (Mihályt, Gábrielt, Ráfaelt). Esetükben a különbözőséget nem az anyagi létezéssel együtt járó kiterjedtség biztosítja, hanem a három angyal lényegi, természeti különbözősége.

Valamilyen, de nem meghatározott egység és különbözőség alapján hozzuk létre a halmaz fogalmát, amelyben az egység abban fejeződik ki, hogy egy halmazról van szó, a különbözőség pedig abban, hogy ennek egymástól különböző elemei vannak. A számosság tulajdonképpen bizonyos halmazok közös tulajdonsága.

A természetes számok ontológiai helyzetével kapcsolatban azonban talán még mindig felvethető az a kérdés, hogy az “ötösségnek” nem felel-e meg valamilyen elkülöníthető, anyagban valóságosan létező forma. A kutyaságnak megfelelő forma metafizikailag elkülöníthető Bodritól, hiszen ha ez nem lenne így, akkor Bodri azonos lenne a kutyasággal, azaz Bodri lenne az egyetlen kutya. Nem lehet-e elkülöníteni az “öt kutya” formától az “öt” formát úgy, hogy az “ötről” is feltételezzük azt, hogy ez anyagban valóságosan létező forma? A válasz nemleges. Az előzőekben láttuk, hogy a természetes szám fogalma úgy tételez fel valamilyen egységet és különbözőséget, hogy ezekhez semmilyen tartalom nem tartozik, azaz az természetes szám szempontjából nincs jelentősége annak, hogy miben áll ez az egység és különbözőség. Ilyen forma azonban csak az értelemben alakulhat ki absztrakció révén, mert az értelmünktől független létezés rendjében nincs egység és különbözőség csak önmagában, tartalom nélkül. Azaz az egység mindig valaminek az egysége, a különbözőség pedig mindig valaminek a különbözősége. Ezért értelmünktől függetlenül nincs például “öt” forma, hanem mindig csak olyan forma, amely tartalmazza azt is, hogy mi az, ami öt.

Összefoglalva tehát megállapíthatjuk, hogy az aritmetika legalapvetőbb tárgyai, a természetes számok értelmünk létezői, ez a létezés azonban nem értelmünk önkényes, valóságtól független tevékenységének az eredménye. Kronecker német matematikus mondása szerint “a természetes számokat Isten alkotta, a többi már emberi alkotás”. Amint láttuk, még a természetes számok is az emberi értelem alkotásai, amelyek azonban nem függetlenek Isten alkotásától, az anyagi világtól. A matematikusokat azonban néha megdöbbenti az a rejtélyesség, titokzatosság, amely például a természetes számok körében is található. A matematikának egy igen régi, de máig számos megoldatlan problémát tartalmazó ága az elsősorban a természetes számokkal foglalkozó számelmélet. A prímeknek nevezett természetes számok az egyen és önmagukon kívül más osztót nem tartalmaznak. Ilyen számok a 2, 3, 5, 7, 11 stb. Sok megválaszolatlan kérdés merült fel a prímekkel kapcsolatban. Így például Eukleidész vetette fel azt a kérdést, hogy van-e végtelen sok ikerprím. Ikerprímnek nevezünk két olyan prímet, amelyek között csak egy (páros) szám található. Ikerprím például a 3 és 5, az 5 és 7, a 11 és 13, az 1997 és 1999. Az Eukleidész által feltett kérdés máig megválaszolatlan. Többek között ez és az ezekhez hasonló problémák hatására gondolja azt több (platonistának nevezett) matematikus, hogy például a prímek embertől függetlenül létező valamik, amelyeknek a tulajdonságait a matematikus csak felfedezi.

Valójában azonban arról van szó, hogy megismerésünk bizonyos irányába haladva egyre általánosabb, de ezzel egyúttal egyre létben szegényebb formákhoz jutunk. Ezek a formák sok más formába beépülhetnek, ezekben az anyagi létezők igen általános építőköveiről van szó. Ilyenek például a mai ismereteink szerinti elemi részecskék: proton, neutron, elektron stb. Értelmünk azonban soha nem tud megállni egyetlen ilyen formánál sem, nem tudja ezeket abszolút végső formáknak tekinteni, hanem még elemibb formákat keres. A létezésben való szegénység miatt ezeket a formákat egyre inkább a mennyiség határozza meg, ezen formák tartalma már csak néhány, mennyiséggel egyértelműen leírható tulajdonság. Ilyen tulajdonságok például az elemi részecskék tömege, a töltése vagy a rejtélyes, perdületnek, spin-nek nevezett tulajdonsága. Azonban ezek a formák sem tekinthetők végső formáknak, az ezekben előforduló mennyiségek is mindig valaminek a mennyiségei. Értelmünk tehát nem képes az anyagban a végső, további formákra már nem utaló formákat megtalálni. Ehelyett viszont képes olyan formákat kialakítani, amelyek tisztán már nem találhatóak meg az anyagban, de valamilyen értelemben ezek tekinthetők azoknak a végső formáknak, amelyekre az anyagban lévő formák utalnak. Ezek a formák azonban már csak az értelemben léteznek. Miért van ez így? Ennek oka az emberi értelemnek az a sajátsága, hogy az anyagvilág megismerésében nem Isten teremtő eszméiből indul ki, hanem az anyagi természetű érzékelésből. (Erről az előző megjegyzésben volt szó.) Ennek a megismerésnek a korlátozottságát mutatja, hogy ez nem képes az anyagvilág “mélységét” átlátni, hanem ennek a megismerésében egyre elemibb formák soha véget nem érő sorozatán keresztül halad. A matematikai absztrakció azonban valamilyen értelemben meghaladja ezt a fajta megismerést, ez eljut valamilyen értelemben végsőnek tekinthető formákhoz, de ezek már nem az anyag formái. Így nem is annyira meglepő, hogy ezen formák teljes tartalmának megismerésében, felfedezésében az ember a matematikai megismerés már anyagtól elszakadt sok-sok lépésén keresztül folyamatosan halad előre.

A következő, témát záró bejegyzésben a matematika másik ősi ágáról, a geometriáról is lesz szó.

Az előző bejegyzésben láttuk, hogy az emberi megismerés jellegzetes művelete, az absztrakció az anyagi valóságban lévő formák kiemelését jelenti. Az absztrakció első fokozata elvonatkoztat az érzékszervi adatok, az ezek alapján keletkezett képek konkrétságától, adott helytől és időtől való függésétől, de nem tekint el attól, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Ennek az absztrakciónak egyik “teljesítménye” a formák hierarchiájának legfelső fokán lévő lényegadó formák megismerése. Ezek közül a “leglényegibb”, az egységet leginkább megjelenítő forma az ember lényegét megjelenítő forma. Az anyagi világban az ember a leginkább létező, a leginkább egy. Ez az egység azért a legteljesebben megvalósult egység ebben a világban, mert arra épül, hogy az ember lényegadó formája szerint szellem. Ez a lényegadó forma azonban az anyagot formálja meg, ezért ez az egység egyúttal a nagyfokú összetettségre is épül, ez az egység sok elemből álló, bonyolult “gépezet” egysége is. A matematikai absztrakció, jóllehet ugyancsak az anyagi formákból indul ki, mégis eredményként olyan formákhoz jut, amelyek megértéséhez már nem kell feltételeznünk azt, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Amint az előző bejegyzésben láttuk, a mennyiség formái olyan tulajdonságok formái, amelyek minden megformált anyagra jellemzőek az elemi részecskéktől kezdve az emberig. A mennyiség olyan alapvető tulajdonság, amely minden más anyagi tulajdonsághoz nélkülözhetetlen. A mennyiségekkel kapcsolatos formák tisztán, más formák nélkül sehol sem jelennek meg, ugyanakkor a hierarchia alacsonyabb szintjein ezeken kívül, ezekre épülve már kevés egyéb tulajdonsággal találkozunk, de ezekkel a formákkal nem a tiszta matematika, hanem a matematikai fizika, az elméleti fizika foglalkozik. Az előző bejegyzésekben láttuk, hogy az elsődleges anyag (materia prima) érzékszerveinkkel nem ragadható meg. Nincs azonban olyan legalacsonyabb szintű forma, amely alatt már nem lehetnének még alacsonyabb szintű formák ¹. A tisztán csak mennyiséget tartalmazó, semmilyen erre épülő formát fel nem tételező forma így anyagi világukban nem létezik. A mennyiség mindig valaminek a mennyisége. Értelmünk azonban képes, mintegy határesetként, olyan formákat létrehozni, amelyek megfelelnek az anyagi világban valóságosan nem, hanem csak határesetként létező formáknak. Ezek a formák a mennyiségek tiszta formái. Ez a magyarázata annak, hogy a matematikai absztrakció ugyan a valóságból ered, mégis az eredményeként létrejövő matematikai tárgyak már elszakadnak az anyagi világtól, az anyagi világ ilyen tiszta formákat nem tartalmaz. Eredetükben tehát ezek a formák is kapcsolódnak az anyaghoz, de megértésük, vizsgálatuk már minden anyagi vonatkozás nélkül történik.

Még mielőtt a további részletekbe mennénk, a tiszta matematika objektumainak ontológiai helyzetére vonatkozó kérdésekre már általánosságban válaszolhatunk. Van-e ezeknek az objektumoknak értelmünktől független, valós léte? A platonista állásponttal ellentétben a válasz nemleges. Ezek az objektumok csak értelmünk létezői, de eredetükben nem függetlenek az anyagi valóságtól: entia rationis cum fundamento in re. Az ember-forma valóságban létező forma, amely ugyan fizikailag nem választható el a konkrétan létező embertől, mert ez a forma önállóan, konkrét emberektől függetlenül nem létezik, metafizikailag mégis valóságos különbség van ezen forma és az általa megformált anyag vagy ezen forma és a konkrét ember között. A matematikai formákról azonban semmilyen értelmünktől független, valóságos létezés nem állítható. Amikor azonban értelmünk ezeket a formákat létrehozza, halvány visszfényként tükrözi az isteni értelmet, amely a teremtésben azáltal is megmutatkozik, hogy az anyagi világ olyan formákra utal, amelyek tisztán már csak az értelem formái lehetnek. Ebből ered a platonizmus különleges vonzódása a matematika, a matematika világa felé. A platonizmus ezt a világot egy tökéletes, ideális világnak tekinti, amelyben az anyagi világ “részesedik”. A tomista álláspont szerint ez a világ önálló valóságként nem létezik, ez a világ értelmünk világa, amely azonban utal a végtelen isteni értelemre, amely a teremtésben megmutatkozik.

Felmerülhet a kérdés, hogy miért van az, hogy anyagi világunk megértésében értelmünk által létrehozott olyan formákra is szorulunk, amelyek már nem az anyagban létező formák, amelyekhez csak “konvergálnak” az anyagban létező formák. A magyarázat az emberi értelem gyengeségében keresendő. A tomista álláspont szerint minden értelmek leggyengébbike az emberi értelem. A tisztán szellemi megismerésben az anyagi világ nem érzékszervek adatainak a közvetítésével jelenik meg. Az isteni megismerésben a teremtett világ ismerete a teremtés örök eszméinek ismeretét jelenti, ezek azonban nem különböznek Isten önismeretétől.  Az angyali ismeret esetében is a teremtés eszméiről van szó, amelyek az angyal Istenről való ismeretében foglaltatnak. Az tisztán szellemi megismerésben tehát az anyagi világ elválaszthatatlan a teremtéstől. Az anyagi világ végső és teljes értelmét a teremtésből nyeri. Az emberi megismerés kiindulópontja azonban ugyanaz, mint a szellemi öntudattal nem rendelkező állati megismerés kiindulópontja: az érzékelés. A teremtett világ viszont a maga teljességében csak Isten teremtő tette felől érthető meg. Az emberi értelem azonban nem ebből a szempontból nézi a világot. A teremtő tettig csak az elegendő magyarázat, ok elvén keresztül jutunk el, de az így szerzett ismeret is inkább csak ezen tett létére utal és nem hogyanjára, mivoltára. Ezért az anyagi világban élő ember a teremtés szempontjából “kívülről” szemléli a világot. Ez az oka annak, hogy ennek valamilyen megértése felé haladva bizonyos formákat az anyagi világtól elválasztva, csak szellemileg, értelmileg létező formaként felfogva képes értelmezni a világot. Azt jelenti ez, hogy az emberi értelem, önmagától, mindent megelőzően, a priori hozza létre ezeket a formákat? Nem erről van szó, mert az absztrakció alapján az érzékszervi adatokból kiemelt formák alapján alakulnak ki ezek a formák, amelyek a maguk tisztaságában már közvetlenül nem találhatóak meg anyagban létező formaként. Ezek a formák tehát nem “légből kapott” formák.

A matematika tárgyai tehát értelmünk konstrukciói, amelyhez a kiinduló “anyagot” végső soron érzékszerveink szállítják. Azonban ezek a tárgyak, mint önálló konstrukciók, ismét tárgyai lehetnek értelmünk megismerő tevékenységének. Ez a megismerés azonban már nem érzékszerveink adataiból indul ki. A skolasztikus terminológia különbséget tesz értelmünk két irányultsága között. Prima intentio-nak nevezték értelmünknek a tőlünk független anyagi világ felé forduló tevékenységét, secunda intentio-nak pedig azt, amikor értelmünk a saját maga által konstruált tárgyak felé fordul. A kétféle megismerés tárgyai jellegükben jelentős mértékben különböznek. A valóságos, anyagi világot az állandó változás jellemzi, ezért az erre vonatkozó ismereteknek is tükrözniük kell ezt: amennyiben ezek az ismeretek igazak, meg kell felelniük az anyagi valóságnak. Ez azt jelenti, hogy ezen megismerésünkben a szigorú értelemben vett dedukciónak, az analitikus megismerésnek csak korlátozott szerepe lehet. A dedukció, a logikai következtetés tipikusan az emberi megismerés eszköze: értelmünk nem képes a megismert tartalmakat egyszerre átlátni, hanem lépésről-lépésre halad. A dedukcióban ez úgy mutatkozik meg, hogy a kiinduló állítások összes (vagy néhány) következménye csak a következtetés lépéseinek kitartó és helyes alkalmazása folyamán válik számunkra ismeretté. Minthogy a matematika tárgyai mentesek az anyag jellegzetességeitől, ezért ezek nem változnak, időtlenek. Így a matematika tételei időtől független, örök igazságokat fejeznek ki. Ez is indokolja a filozófus különös vonzódását a matematika tudománya felé. A secunda intentio eredményeit tehát bizonyos értelemben jellemzi a változatlanság, az időtől való függetlenség. A prima intentio-val kapcsolatban ez már nem mindig állítható. A meteorológus következtetései, számításai semmit sem érnek, ha ezek adatai egy évvel ezelőttről származnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a prima intentio eredményei nem lehetnek időtől független igazságok, de ezzel a kérdéssel most nem foglalkozunk.

A matematika világát tehát az időtlenség, a változatlanság és emiatt a tiszta dedukció jellemzi. Egyik régebbi bejegyzésünkben szó volt az emberi megismerés két fázisáról. Ezek a fázisok nem egymástól független fázisok, hanem egymásra épülnek, az emberi megismerés folyamatában egymást követően ismétlődnek. Az első fázisra jellemző tulajdonképpen az absztrakció, ennek a fázisnak az eredménye a fogalom, amely még állításokban, ítéletekben nem kifejezett ismeret. Az emberi megismerés teljességét, csúcspontját azonban akkor éri el, amikor az ismeret állításokban, ítéletekben fejeződik ki. Ehhez a fázishoz szorosan kapcsolódik a logikai következtetés, a dedukció művelete, amelynek segítségével igaz állításokból, ítéletekből újabb igaz állításokhoz, ítéletekhez juthatunk. A matematikára különösen jellemző ez az eljárás, a matematikai tevékenység jelentős része abban áll, hogy már ismert, elfogadott állításokból újabb állításokhoz, tételekhez jutunk bizonyítások által. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a secunda intentio és így a matematika csak ezekre szorítkozik, de erről majd később lesz szó. A következő bejegyzésben először részletesebben megvizsgáljuk a matematika két ősi ágának, az aritmetikának és geometriának tárgyait.