A matematikai ismeretek eredete. 6.rész

Kissé hosszúra nyúlt sorozatunk befejező részében a geometria tárgyainak eredetével foglalkozunk. Eddigi bejegyzéseink szerint a matematika tárgyai értelmünk olyan formái, amelyek a maguk tisztaságában nem fordulnak elő anyagi világunkban, de anyagi világunk formái vezetnek ezekhez a tiszta, csak értelmi létezéssel bíró formákhoz. A geometria tárgyai esetében ez talán még nyilvánvalóbb, mint az aritmetika vagy a természetes számok esetében. Az anyagi világban találkozunk pontokhoz, egyenesekhez, görbékhez, síkokhoz, felületekhez hasonló formákkal, ezek azonban nem tiszta formák. Amit pontnak vélünk az anyagi világban, kiterjedéssel rendelkezik, ellentétben a geometria pontjával. Az anyagi világ egyeneseinek, görbéinek sokszor van szélessége is, tehát nem egydimenziósak. A geometriai vonalaihoz leginkább hasonlókkal még a testek fizika törvényei szerinti mozgásuk folyamán leírt pályákban találkozunk, de ezek között sem találjuk meg például a tökéletes egyenest, vagy az adott görbét úgy, ahogyan ezt a matematika meghatározza, hiszen a valóságos helyzetekben a fizika törvényei sokszor csak közelítően érvényesülnek.

A geometria tárgyaihoz elvezető matematikai absztrakcióban még egy érdekes dologgal találkozunk. Az anyagi világban kiterjedt és mozgó tárgyakat találunk. A kiterjedés és a mozgás következtében ezek a tárgyak vonatkozásban (relációban) vannak egymással. Egyik tárgy elfoglal egy helyet, amelyet egy másik tárgy nem foglalhat el, egyik tárgy közvetlenül a másik mellett lehet és így határosak egymással, egyik tárgy egy másik tárgyhoz közelebb lehet, mint egy harmadik tárgy stb. Értelmünk felfogja ezeket az anyagi világban valóságosan létező relációkat, amelyekből rendkívül sok van, amelyek átszövik az anyagi világot. Értelmünk ezen relációk sokaságát valamilyen egységbe akarja hozni és így megalkotja a tér fogalmát, amely mintegy tartalmazza a tárgyakat és amelybe, mint egy egységes közegbe, elhelyezhetők ezek a relációk.  Az anyagi valóságban nincs tér, ez csak értelmünkben létezik, de nem önkényes képződmény, hanem az anyagi valóságon alapul: ens rationis cum fundamento in re. A tér fogalma értelmünk alapvető fogalma az anyagi világ hétköznapi felfogásával, megértésével kapcsolatban is. Tulajdonképpen ez a tér az alapja a geometriai tér fogalmának, amelyben elhelyezkednek a geometria különböző tárgyai. Most csak röviden megemlítjük, hogy a térhez hasonlóan az idő sem tekinthető az anyagi világban valóságosan létező dolognak. Ugyanakkor sem a tér, sem az idő nem tekinthetők valamilyen eleve adott, a priori formáknak, mert a tér és idő ugyan értelmünk formája, de ez a forma az anyagi valóságban lévő formákra alapozódik. Az idő alapja a valóságban megtapasztalható változásokban van, amelyek következtében valóságosan megtapasztalható relációt jelentenek az “előtte”, “utána”, “korábban”, később” stb. szavaink. Ezeket a relációkat értelmünk alkotása, az idő fogja egységbe, amely egységnek feltétele az az értelmes létezés, amely számára van múlt, jelen és jövő.

A matematikai absztrakció által képzett formák tehát az anyagi világban lehetőségként vannak jelen, de ez a lehetőség nem az anyagi világ anyagi okok által megvalósítható lehetősége. Ez tulajdonképpen az anyagi világról való ismereteinkben rejlő lehetőség. A mai geometria az általunk megszokott euklideszi terek mellett ezek alternatíváit is, a nem euklideszi tereket is ismeri. Tehát geometriai terekből több is van és éppen a modern fizika és kozmológia veti fel azt a kérdést, hogy az Univerzumra vajon melyik tér alkalmazható. Mint láttuk, a tér fogalma az anyagi világban valóságosan meglévő relációkra épül. Ezekről a relációkról szóló ismereteink érzékszerveink adataiból indulnak ki. Ismereteink abba az irányba vezetnek, hogy az érzékszerveinkkel közvetlenül “befogható” világ euklideszi szerkezetű és ezért a megszokott, évezredek óta használt térszemléletünk euklideszi. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az Univerzumban érvényes geometria feltétlenül euklideszi szerkezetű lenne. Ez csak annyit jelent, hogy érzékszerveink szokásos hatóterületén belül az esetleges nem-euklideszi szerkezet nem észlelhető. (A Föld görbületét sem észleljük mindennapi életünkben.) A 19. század folyamán több matematikus (például Gauss, Bólyai, Lobacsevszkij) felismerte azt, hogy az euklideszi geometria híres párhuzamossági axiómája helyettesíthető más axiómákkal is úgy, hogy így felépíthetők nem eulideszi geometriák is. Lokális tapasztalataink azonban nem utalnak szükségszerűen arra, hogy világmindenségünkre nem az euklideszi geometria alkalmazható. Erről csak a közvetlen tapasztalatainkat jelentősen meghaladó nagyon nagy (vagy nagyon kis) méretek esetében lehet szó.

Amint az előző bejegyzésekben láttuk, a matematikai absztrakció az emberi megismerés igen sajátos területe. Az az absztrakció, amelyben csak a dolgok konkrétságától, az érzékelés tértől és időtől függésétől tekintünk el, olyan formák megismerését eredményezi, amelyek az anyagi világ valóságos formái. Tipikusan ilyen formák a lényegadó formák (formae substantiales), amelyek a magukban létező dolgok (szubsztanciák) formái. Amint arról már több bejegyzésben is szó volt, ezek a formák közvetlenül formálják meg az elsődleges anyagot (materia prima), így biztosítva a magában álló dolog egységét. Ez az egység az anyagi létezéssel szükségszerűen együttjáró összetettség miatt abban is megmutatkozik, hogy például az anyagi világban található legmagasabb egység formájába, az ember formába más formák is beépülnek. Ezek közül egyesek bizonyos tulajdonságok formái. Más formák beépülő részek formái. Ilyenek a szervek, sejtek, molekulák, atomok, elemi részek formái. Ezek a formák nem önálló, lényegi formák, hanem csak beépülő részek formái. A természettudományok vizsgálják a teljesebb formák más formákból való felépülésének módját. Ez a megközelítési irány jogos és az elmúlt évszázadokban nagy sikereket ért el, a technológia, a gyógyítás olyan fejlődését tette lehetővé, amely hatalmas változásokat hozott. Ugyanakkor a teljesebb formák, köztük a lényegadó formák soha sem lesznek teljesen érthetőek a természettudományok “redukciós” kutatásainak eredményeként. A kevésbé fejlett formák fejlettebb formákban való összehangolt működése nemcsak egyik oka, hanem jele is a fejlettebb forma egységének. A természettudomány, elsősorban a fizika egyre kevésbé “fejlett” formák után kutat, ezek tulajdonságainak a felderítésével foglalkozik. Ez a kutatás azonban soha nem jut el egy olyan elemi formához, amelynél már nincs elemibb forma. A matematikai absztrakció viszont eléri azokat a formákat, amelyek a mennyiség minden anyagi létezőben jelenlévő formájára vonatkoznak. Ezek a formák azonban a maguk tisztaságában már nem lehetnek az anyagi valóság formái, ezért a matematika világa egy ideális világ, amelynek gyökerei azonban az anyagi valóságban vannak. Ez a magyarázata annak, hogy az elemibb formákat kutató fizikában olyan sikeres a matematika alkalmazása, hiszen a fizika formáinak tartalmát mindössze néhány, csak mennyiségileg jellemezhető tulajdonság alkotja, ezért ezek jól modellezhetők a matematika ideális világának segítségével. A matematikai tárgyak ontológiai helyzetének vizsgálata így elvezet a fizika tárgyai ontológiai helyzetének vizsgálatához. Régebbi bejegyzések (itt és itt) már foglalkoztak ezzel a témával és terveink szerint ilyen bejegyzések még a jövőben is lesznek.

Az előző bejegyzésben említettük, hogy a természetes számokkal kapcsolatban lehet beszélni valamilyen egységről és különbözőségről. A megszámolt valamik valamiben egyek, ez alapján tekintjük őket a számolásnál valamilyen értelemben összetartozónak. Ugyanakkor különböznek is, mert ha nem különböznének, akkor a számolás az egyes számnál befejeződne. A továbbiakban egy olyan különbségről lesz szó, amely anyagi világunk alapvető jellemzője. Ez a különbség az egyedek különbsége. Ha a megformálatlan anyagról, az elsődleges anyagról (materia prima) beszélünk, akkor ezt formák befogadására való képességként jellemezhetjük. Ez a képesség azonban nem egyetlen forma, hanem több forma befogadásának a képessége. Az is előfordul, hogy ugyanaz a forma többször formálja meg az elsődleges anyagot, ez a helyzet például a kutya-formával vagy az elektron-formával. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha ugyanazon forma általi többszöri megformáltságok valamiben különböznek egymástól. Ez a különbség nem származhat a formától, hiszen ez ugyanaz. Ebből következik, hogy a különbség  az anyagból ered, ezért a tomista álláspont szerint az egyedesedés, az individuáció elve (principium individuationis) az anyag. Az anyag tehát képes a forma által képviselt egységbe valamilyen megkülönböztetést vinni. A konkrét egyedek közötti különbség mindennapi tapasztalatunkban legalapvetőbben abban mutatkozik meg, hogy ezek nem foglalhatják el ugyanabban a pillanatban ugyanazt a helyet. Az anyagnak az a lehetősége, hogy a forma azonosságának az egységébe megkülönböztetést vigyen, valamilyen külön, első formaként nem valósul meg. Itt tehát egy valóságos lehetőségről van szó, amelynek azonban tiszta, más formákat nem feltételező megvalósulása nem létezik a tapasztalható világban. Ennek oka az, hogy tartalom-nélküli különbségről, mint tisztán megvalósuló formáról nem lehet beszélni az anyagi valósággal kapcsolatban. Ugyanakkor a matematika világában lehet beszélni ezen lehetőség (és a rá épülő lehetőségek) tiszta formakénti megvalósulásáról, mert itt már a tartalom nélküli különbség feltételezése is elegendő a matematikai tárgyak létéhez. Így például a halmazelmélet halmazai esetében elegendő annak feltételezése, hogy ezen halmazok elemei különböznek, nincs arra szükség, hogy konkrétan megjelöljük azt, hogy miben áll ez a különbség.

A matematikai ismeretek eredetéről szóló bejegyzések sorozatát ezzel a bejegyzéssel egyelőre befejezzük, anélkül, hogy egy részletesen kidolgozott álláspontot alakítottunk volna ki. Megjegyezzük, hogy bejegyzéseinkben most csak a matematika anyagi világgal legszorosabb kapcsolatban lévő tárgyaival, az aritmetikai és geometriai legalapvetőbb tárgyaival foglalkoztunk. Amint említettük, a megismerés tárgyai lehetnek maguk az ismeretek is (secunda intentio). Ezek alapján a matematika számára újabb, még “absztraktabb” tárgyak keletkezhetnek. Ezekben a bejegyzésekben erről sem volt részletesebben szó. Még azt is megjegyezzük, hogy a bejegyzésekben vázolt megközelítés korántsem mondható minden részletében a tomista iskola egyöntetű álláspontjának. Ilyen, teljes egészében kidolgozott álláspontról még nem beszélhetünk. A témával kapcsolatban megemlíteném Jacques Maritain The Degress of Knowledge című könyvének témával foglalkozó részeit és Armand Maurer cikkét.

MINDEN VÉLEMÉNY SZÁMÍT!

Email cím (nem tesszük közzé) A kötelezően kitöltendő mezőket * karakterrel jelöljük


*

A következő HTML tag-ek és tulajdonságok használata engedélyezett: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>