Több régebbi bejegyzésben foglalkoztunk már a matematikai ismeretek eredetével, a matematikai ismeretek eredetének kérdésére azonban kimerítő és teljes választ nem adtunk. Ebben a bejegyzésben ismét ezt a témát vesszük elő. A bejegyzésben igyekszünk a témát úgy folytatni, hogy ehhez ne legyen feltétlenül szükséges a témával foglalkozó előző hat bejegyzés átolvasása, ezért ismétlésekbe is bocsátkozunk. A mostani bejegyzés épít az Arisztotelésztől származó, Aquinói Szent Tamás által intenzíven használt érthető anyag (materia intelligibilis) fogalmára (Super Boetium De Trinitate q. 5 a.3, ST I. q. 85 a. 2 ad 2). Először ezzel a fogalommal foglalkozunk
Márt többször volt szó a blogon a hülémorfizmusról, azaz az anyagból és formából való összetettségről. Eszerint minden, amivel találkozunk világunkban, két egymástól megkülönböztethető, de nem feltétlenül fizikailag elválasztható összetevőből áll: anyagból és formából. Az anyag-forma összetettség általánosabban megfogalmazva a képességből és a megvalósultságból, ténylegességből való összetettségre utal. (Ezekkel a fogalmakkal több régebbi bejegyzés is foglalkozott. Ezek közül most egyet említek meg, amelyben ezek együtt fordulnak elő. Arra is felhívjuk azonban a figyelmet, hogy itt még a képesség fogalmára a „lehetőség” szót használtam, ezt azonban időközben lecseréltem le a „képesség” szóra, amely a fogalomnak jobban megfelelni látszik. De még ezzel sem vagyok teljesen elégedett.) A képesség (potentia) valami befogadására való képesség, ez a ténylegességet, a megvalósultságot (actus) megelőző létezés. A tényleges létezés tehát nem a semmiből „ugrik elő”, ezt már megelőzi a képességi létezés, amely befogadja a tényleges létezést. Ezt a viszonyt többször az anyag-forma viszonnyal fejezik ki. A szó szoros értelmében vett anyag, az elsődleges anyag (materia prima) a lényegadó formát (forma substantialis) fogadja be és így létezik az önállóan létező dolog, a szubsztancia.
A szubsztanciától valóságosan különböznek, de ebben léteznek ennek járulékai (accidentia). A járulékokat először Arisztotelész „kategorizálta”, sorolta osztályokba. Ebből kiindulva ismeri a skolasztika a tíz kategóriát, amelyek közül az első maga a szubsztancia. Ezek a kategóriák: szubsztancia, mennyiség, minőség, vonatkozás, tevékenység, szenvedés (más tevékenysége hatásának a befogadása), hely, idő, helyzet, állapot. Most ezekkel részletesen nem foglalkozunk. A szubsztanciától eltekintve, a kilenc kategória osztályokba sorolja az egy szubsztanciáról állítható dolgokat. Ezek nem azonosak a szubsztanciával, ezek a járulékok mintegy a szubsztanciából „nőnek ki”, ezeket a szubsztancia hordozza. Témánk szempontjából fontos, hogy a szubsztancia és járulékai között a viszony a képesség és a ténylegesség, az anyag és a forma közti viszony. Tehát az „első ténylegesség” a szubsztancia, amely keletkezik, a második ténylegességek pedig ennek járulékai, amelyek a szubsztanciának adnak új formát, de ez a forma nem a lényegadó forma, hanem csak járulékos (akcidentális) forma. Azáltal, hogy a víz 20 fokról 50 fokra felmelegszik, nem szűnik meg víz lenni, de a hőmérséklete megváltozik. Ilyen értelemben beszélhetünk arról, hogy a szubsztancia valamilyen értelemben anyagként viszonylik járulékaihoz, hiszem a járulékok új (járulékos) formát adnak a szubsztanciának.
Maga a szubsztancia (és a lényegadó forma) közvetlenül nem hozzáférhető megismerésünk számára. Megismerésünk eredete az érzékelésben van. Amit érzékelünk, azok a látható, hallható, tapintható, ízlelhető, szagolható minőségek, tehát járulékok. A megtapasztalható járulékokban, elsősorban a minőségekben a megformált anyag érzékelhetősége jelenik meg. Tehát a minőséggel kapcsolatban beszélhetünk érzékelhető anyagról (materia sensibilis). Ami közvetlenül az érzékelés alá esik, az az itt és most érzékelhető anyag. De beszélhetünk az általános értelemben vett érzékelhető anyagról is, amikor elvonatkoztatunk a érzékelés konkrétságáról és erről általánosságban beszélünk. Az általános érzékelhető anyagot közvetlenül nem találjuk meg a világban, ez csak értelmünkben létezik. Erről van szó, amikor azt mondjuk, hogy az ember anyagi létező. Az általános értelemben vett érzékelhető anyag fogalmában tehát elvonatkoztatunk az itt és most egyedileg érzékelhetőségtől, de nem magától az érzékelhetőségtől. Az ilyen általános fogalmak önállóan nem léteznek, de mégsem önkényesen alkotott fogalmak ezek, mert a valóságon alapulnak. Ezek értelmünkben léteznek, de van alapjuk a valóságban (ens rationis cum fundamento in re).
A tomista filozófia szerint a szubsztancia járulékai között bizonyos sorrendiség van. A minőségek föltételezik a mennyiséget, mert például a piros szín minősége alatt mindig valamilyen mennyiség kategóriájába tartozó dolog áll, a piros mindig valamilyen felületnek a színe. A mennyiség (szám, alakzat, felület stb) járuléka tisztán, csak önmagában soha sem jelenik meg érzékelésünk számára, ez mindig valamilyen minőségen keresztül mutatkozik meg. Így tehát mondhatjuk azt, hogy a minőség föltételezi a mennyiséget, de ez fordítva nem áll, a mennyiségről beszélhetünk a minőség nélkül, ez megérthető a minőség és így az érzékelhető anyag nélkül is. A mennyiség vizsgálatában tehát elvonatkoztathatunk a minőségtől és így az érzékelhető anyagtól. Azonban a mennyiségről sem beszélhetünk az alatta álló szubsztancia nélkül. A valóságban mindig valaminek a mennyiségéről van szó. A mennyiség tudománya a matematika tehát eltekinthet a minőségtől, az érzékelhető anyagtól, de nem tekintet el a szubsztanciától, amely, mint föntebb mondottuk, képességként, anyagként viszonyul ahhoz, ami a szubsztanciának (járulékos) formát adó mennyiség. Szubsztancia lehetne mennyiség nélkül is (ilyen például az anyag nélküli, angyali szubsztancia), de mennyiségről nem beszélhetünk az őt hordozó szubsztancia nélkül, enélkül a mennyiséget megérteni nem lehet. Ilyen értelemben beszélhetünk a szubsztanciáról mint arról az érthető anyagról (materia intelligibilis), amely nélkül a mennyiség nem érthető meg, amely nélkül nincs mennyiségekről szóló tudomány, matematika sem. Amint az érzékelhető anyaggal kapcsolatban is beszéltünk általános értelemben vett és egyedi érzékelhető anyagról, ugyanúgy az érthető anyag esetében is beszélhetünk általános értelemben vett és egyedi érthető anyagról is. A mennyiség számára az egyedi érthető anyag az a konkrét szubsztancia, amelynek éppen valamilyen mennyiségéről van szó. A matematikában nyilván nem az egyedi, hanem az általános értelemben vett érthető anyagról van szó.
Az általános értelemben vett érthető anyag értelmünk fogalma, ez külső világunkban valóságként nem létezik, de mégis utal ez arra a valóságra, amely a mennyiségeket hordozza, ami tulajdonosa a mennyiségeknek. Tehát itt is olyan csak értelmünkben létező dologról van szó, amely azonban a valóságban van megalapozva. Tehát ez sem olyan önkényes terméke értelmünknek, mint például a szárnyas ló, a pegazus.
A matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatban a matematika filozófiájában többféle álláspont van. Az egyik ilyen álláspont, a matematikai platonizmus szerint a matematika világa értelmünktől és az anyagi valóságtól függetlenül létező világ. Ezen álláspont érvei közé tartozik, hogy a matematika sok (sőt talán a modern matematika legtöbb) objektumának nincs megfelelője a külső valóságban. A külső valóságban nem találkozunk végtelen halmazokkal, négy vagy akár száz dimenziós terekkel, képzetes számokkal. De még igazi pontokkal, egyenesekkel, körökkel sem találkozunk, mert amit a valóságban pontnak tekintünk, az nem kiterjedés, dimenzió nélküli valami, hanem ez egy kicsi folt, amelynek ráadásul még vastagsága van. Hasonló a helyzet az egyenesekkel, körökkel, háromszögekkel, sokszögekkel stb kapcsolatban is. A platonista elképzelés egyik nehézsége az, hogy nem tudja világosan megmagyarázni, hogy miért és hogyan van mégis kapcsolat a matematika platoni világa és a mi világunk között, továbbá hogyan van az, hogy képesek vagyunk megismerni ezt a platoni, anyag nélküli világot.
A matematikai tárgyak realitásának léteznek a platonizmustól különböző, más felfogásai is. Egy ilyen elképzelést ismertet James Franklin könyve (An Aristotelian Realist Philosophy of Matematics). James Franklin hangsúlyozza, hogy a matematikai fogalmak a bennünket körülvevő világból erednek, de mégis elismeri, hogy a matematikai tárgyai jelentős részének nem találjuk meg közvetlen megfelelőjét külső világunkban. Ezért a matematikával kapcsolatban szemiplatonista arisztotelizmusról beszél.
A következő bejegyzésben az érthető anyag fogalmára támaszkodva közelítjük meg a matematika tárgyainak világát. Szerintünk ugyanis ez az a fogalom, amely megjelöli azt az „anyagot”, amelyből megformálódnak matematikai fogalmaink, a matematika tárgyai. Az érthető anyag, mint említettük, tulajdonképpen valamilyen általános értelemben vett szubsztancia. Az érthető anyag fogadja be értelmünk munkájának hatására azokat a formákat, amelyekkel a matematika foglalkozik. Ezek a formák részben a körülöttünk lévő világból származó absztrakció hatására alakulnak ki, de maga az értelem is kialakíthat ezekre támaszkodva, de ezeken túl is lépve új formákat, amelyeknek közvetlen megfelelőit nem találjuk meg a külső világban. Előfordul azonban, hogy váratlanul ezek a formák döntő módon segítenek a külső világ fizikai megismerésében, utalva arra, hogy azok az összefüggések, amelyeket értelmünk feltár a matematika különböző objektumai között, megfelelnek a külső világunkban is jelenlévő összefüggéseknek.