Az előző bejegyzésben szó volt a megismerés három fajtájáról: a fizikai, matematikai és a metafizikai megismerésről. Részletesen foglalkoztunk a matematikai megismeréssel, amely különbözik a fizikai megismeréstől. Ez utóbbiban a dolgok tér és idő adott pontjához kötödő érzékeléséből indulunk ki, de ennek a konrétségétől elvonatkoztatunk, ez tehát nem lesz ismeretünk része, de az általában vett érzékeléstől nem tekintünk el. Tehát az általánosabb, filozófiai értelemben vett fizika továbbra is az érzékelhető anyagról szól, de az itt és most történő érzékelés egyedisége nélkül. Az állandóan mozgó világban ezen elvonatkoztatás segítségével felfedezhetjük az időben megmaradó szubsztanciát, továbbá a dolgok bizonyos csoportjainak közös viselkedését megalapozó lényegadó formát. Ezek az érzékelés számára közvetlenül föltárhatatlan dolgok, ezek felfedezése értelmünk műve.

Az állandóan változó világban azonban olyan mennyiségekre vonatkozó formákat is felfedezhetünk, amelyek ugyan az érzékelhetőség által nyilvánulnak meg, ezeket feltételezi az érzékelhetőség, de ők maguk már nem feltételezik az érzékelhetőséget. Így ezekkel a formákkal ugyan először az érzékelésen keresztül találkozunk, de ezek megértésében elvonatkoztathatunk az érzékeléstől. Így az ezen formákra vonatkozó tudás, tudomány is általános érvényű, időtlen lesz. Míg a szubsztancia, a lényegadó formák megmaradása, bizonyos állandósága valóságos, ezek a valóságos világban maradnak meg, addig ezek a mennyiségi, alakra vonatkozó formák a valóságos világban sok átalakuláson mennek keresztül, állandóságukat csak annak köszönhetik, hogy valamilyen értelmi létezést nyernek, számokká, „absztrakt” pontokká. szakaszokká, egyenesekké, körökké, háromszögekké stb. válnak. A matematika eléggé elterjedt platonista felfogása szerint ezek esetében nem csupán értelmi, hanem valóságos létezésről van szó, de ez a létezés különbözik anyagi világunk létezésétől. A platonista álláspont meg tudja magyarázni a matematika tárgyainak absztrakt, változatlan, időtől független létezését, de nem tud számot adni arról, hogy a világban miért érvényesülnek a matematika tételei (igaz, hogy csak megközelítőleg). Annak a magyarázata is hiányzik, hogy mi hogyan jutunk matematikai ismereteink birtokába ¹.

A megismerésünkben lévő matematikai formák esetében felmerül a kérdés, hogy ezek minek a formái. Ezzel kapcsolatos még a formák és a matematika tárgyai közti viszony kérdése is. A matematikai tárgyai esetében beszélhetünk-e olyan értelemben egyediségről, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza, ahogyan a konkrét emberek esetében a közös forma az „emberség” formája? A geometria esetében erre igenlő választ kell adnunk, mert több, egymástól különböző pontról, egyenesről, síkról, háromszögről, körről stb. beszélhetünk, sok geometriai tétel ilyenekre vonatkozik. Tehát a matematikában is előfordul, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza. Az anyagi világban az egyedesülés elve, a principium individuationis az az anyag, amely megformálva mindig mennyiséggel, kiterjedtséggel rendelkező anyag és így a dolgokat, a megformált anyagot a kiterjedtség (meg az időbeli létezés) elválasztja egymástól. De mi az egyedesülés elve a matematika objektumaival kapcsolatban?

Az egyedesülés elve valamilyen olyan befogadó képesség (potentia), amely többször is képes ugyanazt a formát befogadni, így a formák befogadása által különböző létezések állnak elő. A tisztán szellemi létezés formákat befogadó anyag nélküli létezés. Ezért van az, hogy az angyali létezésben egy forma csak egyetlen „egyed”, egyetlen angyal által van képviselve. A kérdés a matematikai tárgyaival kapcsolatban az, hogy itt mi az a lehetőség, az az „anyag”, amely lehetővé teszi ugyanannak a formának többszöri, egymástól különböző létezést eredményező befogadását. Tehát, például mi fogadja be a pont, az egyenes formáját?

A megismerés szintjén a dolgok formáját az értelem mint képesség (intellectus possibilis) fogadja be, így tehát értelmünkben ugyanaz a forma van, ami az anyagi világ dolgaiban. Ezek a formák azonban az elvonás (absztrakció) által nyert közös formák, amelyek a világ dolgainak összetettségében jelen vannak. Így értelmünk általános ismerete az emberre vonatkozik, de nem közvetlenül az egyes emberekre. Értelmünk az egyes ember ismeretéhez úgy jut el, hogy visszafordul az érzékeléshez, pontosabban az ezekből nyert képzetekhez (conversio ad phantasmata) és ezeket köti össze az általános fogalmakkal. Így jutunk el (a sokszor emlegetett) Szókratésznak, az embernek ismeretéhez. Ehhez hasonlóan megvan értelmünkben a szám, a pont, az egyenes, a háromszög stb. általános fogalma, de hol vannak a számok, a pontok, az egyenesek, a háromszögek? Ha a fent említett nehézségek miatt ezeket nem helyezzük valamilyen platóni világba, akkor meg kell találni azt a „közeget”, ahol ezek vannak. Ezt a külső világban nem találhatjuk meg, mert, mint említettük, ezek a formák ugyan innen származnak, de mégis olyan általánosságot, idő fölöttiséget nyernek, amelyet a külső világban ezekkel a a formákkal kapcsolatban nem találunk meg. A „közeget” tehát bennünk, a megismerőben kell keresni. Értelmünk önmagában véve, tehát ha eltekintünk az érzékelés képességétől, nem lehet helye a matematika egyedi tárgyainak, mert ebben csak az általános fogalmak vannak meg. Tehát itt megvan a pont, az egyenes, a kör, a háromszög általános fogalma, de itt nem lehetnek a pontok, egyenesek, körök, háromszögek. Itt nem lehet ez a pont, ez az egyenes, ez a kör, ez a háromszög. Marad tehát az embernek az érzéki megismeréshez tartozó képessége. Egy előző bejegyzésben már szó volt arról, hogy itt tulajdonképpen két szintről, a külső és belső érzékelésről beszélhetünk. A külső érzékelés az érzékszervek szintje. Szemünk különböző színes foltokat lát, fülünk különböző hangokat hall stb. A belső érzékelésben ezek az „adatok” összeállnak annak a valaminek az egységes érzéki benyomásává, „képévé”, képzetévé, amiből majd a megismerés folyamán az éppen ugató Mackó kutya ismerete lesz. A belső érzékelés képzetei bizonyos értelemben véve elszakadnak a konkrét időpontban és helyen történő érzékeléstől, ezek a közvetlen érzékelés hiánya esetén is felidézhetőek. A belső érzékeléshez tartozik még az állatoknál az ösztönös értékelő képesség (vis aestimativa), amely abból a szempontból értékeli a képzetet, hogy ez jó vagy pedig valamilyen veszélyt jelent az állat számára, ahogyan például a bárány veszélyesnek értékeli a farkas képzetét. Az ember esetében ennek az ösztönös értékelő képességnek a helyét már az értelemtől áthatott, egyedi helyzeteket és általában az egyediséget kezelő képesség (vis cogitativa) veszi át. Az ember esetében a belső érzékelés tehát az a határterület, amelyen az érzékelés és az értelem már szorosan együttműködnek, így ez alkalmas lehet a szintén határterületen lévő egyedi matematikai tárgyak befogadására. A matematika tárgyainak helyét Aquinói Szent Tamás későbbi írásaiban már egyértelműen a belső érzékelés területére, a képzeletbe helyezi ².

Az előző bejegyzésben említettük, hogy Aquinói Szent Tamás a matematikai objektumaival kapcsolatban beszél az értelmes anyagról, szembe állítva ezt az érzékelhető anyaggal, amely által közvetlenül a dolgok érzékelhető minőségeit ismerjük meg, majd pedig ezekből az egyediség elhagyásával eljutunk a szubsztancia, a lényegadó forma megismeréséhez. Az értelmes anyag, amely tulajdonképpen az általános értelemben vett szubsztancia, a matematika tárgyainak megértése szempontjából nélkülözhetetlen. Ez az az „anyag”,  képesség, amelyből a matematika tárgyai megformálódnak, a képzeleten belül egyedi létet nyernek. Ez az „anyag” fogadja be a különböző (általános) matematika formákat és így keletkeznek a matematika egyedi tárgyai (ez a pont, ez az egyenes), amelyekről aztán a matematika általános tételei szólnak. Ez a befogadás tehát a képzeletben történik, képzeteink ugyanis nemcsak az érzékelés hatására keletkeznek, hanem ez az értelem (és akarat) irányítása alatt is megtörténhet. A címerek például először, ilyen tárgyként (a mitológikus vagy más jelképes motívumokból összerakva) a világban sehol sem léteznek. De a művész tevékenysége alapján ezek képzetként előállnak, majd a képzet alapján a szobrász, a festő munkájaként, az ember alkotásaként a valóságban is megjelennek. De említhetnénk az épületeket is, sőt minden műszaki tevékenység, tervezés által előálló dolgot is.

A matematika tárgyai tehát a képzeletben vannak. Ezek egyformaságáról. egyöntetűségéről az kezeskedik, hogy egyrészt ezek végső fokon a valóságban meglévő formák elvonásával keletkeznek, másrészt az őket elvonó és létrehozó emberi értelem és az ezáltal irányított képzelet működése mindenkiben alapjában véve ugyanaz. Hogy a matematikai tevékenység mennyire a képzeletre van utalva, az is tanúsítja, hogy a matematikai (geometriai) megértéshez szinte nélkülözhetetlenek az ábrák. Egy másik erre utaló dolog a matematikai jelölések fontossága. A matematika jelei mintegy érzékileg megfoghatóan utalnak a matematika tárgyaira, utalnak egy adott tárgy képzeletben történő létrehozására („legyen X egy olyan…”). A jelölések fejlődése fontos szerepet játszik a matematika történetében. A görög matematika jelölések hiányában nem tudott akkora előrehaladást tenni az algebrában, számelméletben, a differenciál- és integrálszámításban (analízisben), mint a geometriában, jóllehet a kiinduló ismeretek már adottak voltak. Még a legabsztraktabb matematikai objektumok esetén is a matematikus a képzeletére van utalva. Ebből kiindulva fejleszti ki meghatározásait és bizonyításait, jut el az általános fogalmakhoz, az általános megfogalmazott tételek bizonyításához.

Képzeletünkben nincsenek egyszerre jelen ennek lehetséges tárgyai. Egy régen nem látott ismerősünk képét abból a „tárházból” emeljük ki, amelyben nem aktív képzeteink tárolódnak. A matematikai képzetekkel kapcsolatban ezt a tárházat az a képesség helyettesítheti, amely az értelmünk által irányítva a matematikai objektumok képzeletünkben való létrehozásának a képessége.

Ezekre a témákra még későbbi bejegyzésekben visszatérünk.