Egy állítás igazsága melletti érvelés elsődlegesen azt jelenti, hogy már elfogadott állításokból a logika szabályai szerinti következtetéssel eljutunk az igazolandó állításhoz. Van azonban az érvelésnek egy másik módja is. Ezt az érvelési módot reductio ad absurdum-nak nevezik. Itt nem ismert tételekből kiinduló levezetésről van szó (ezt talán túl hosszú lenne vagy még nem ismerjük a levezetés menetét), hanem arról, hogy az igazolandó állításról feltesszük, hogy téves, azaz, hogy az ezzel ellenkező állítás igaz. Ebből kiindulva megmutatjuk, hogy így lehetetlenséghez jutunk, tehát az igazolandó állításnak igaznak kell lennie. A retorzív érvelés is hasonló ehhez, de eljárása ettől mégis különbözik. Ebben elsősorban nem azt mutatjuk meg, hogy ellenfelünk velünk ellentétes állításának tartalma vezet logikai ellentmondáshoz, hanem azt, hogy az ilyen állítás elgondolásának, megfogalmazásának, kimondásának tette ellentmondásban van az elgondolt, megfogalmazott, kimondott állítás tartalmával, tehát, aki ezt a tartalmat állítja, következetlenül jár el. Ha az antialkoholisták egyesületének díszvacsoráján az elnök kezében egy pohár pezsgővel mondja el beszédét, akkor következetlenségről van szó. Ez a következetlenség azonban nem jelenti a beszéd tartalmának feltétlen helytelenségét, legfeljebb azt, hogy itt azért mégsem következetes antialkoholizmusról van szó. A beszéd tartalma és ennek a pezsgős vacsora keretében való elmondása ugyanis nincsenek annyira szoros kapcsolatban, hogy ez utóbbi ténye cáfolná a beszéd tartalmát. Ha valaki azonban bemondja a mikrofonba, hogy ő néma, akkor már állításának a tartalmát cáfolja az a tény, hogy ő ezt az állítást megfogalmazó mondatot kimondta.

A már említett bejegyzés retorzív érvelése (a kiemelés tőlem):

Godoljunk csak bele: ha valaki az igazság igényével kijelenti (tehát nem csak nyelvtani példamondatként alkalmazza, vagy idézi), hogy „nincsenek történelemfeletti, nyelvtől és kultúrától függetlenül igaz állítások”, akkor legalábbis ezen állítását „történelemfelettinek” kell tartania (legalábbis abban az értelemben, hogy igazságértékét nem teheti függővé valamely esetleges történelmi, nyelvi, kulturális körülménytől. Ellenkező esetben ugyanis (tehát ezen legalább hallgatólagosan elfogadott előfeltételezés híján) saját kijelentését (annak igazságigényét) kellene semmissé nyilvánítania! Aki ugyanis komolyan gondolja a metafizika tagadására irányuló tulajdon állítását, mindjárt azt is hozzá kellene tennie: „igaz ugyan, hogy nincsenek történelemfeletti igazságok, ám legalábbis ez az egy – tudnillik amelyben ezt leszögezem – kivételt képez, hiszen ezt mégiscsak történelmi kortól független, vagyis történelemfeletti értelemben igaznak tartandó.”

Világosan látszik, hogy a némaság bejelentése és az idézetben szereplő állítás („nincsenek történelemfeletti, nyelvtől és kultúrától függetlenül igaz állítások”) esetében már nem egyszerűen csak arról van szó, hogy „valaki bort iszik és vizet prédikál”. Az ilyen állításoknak az elgondolása, megfogalmazása, kimondása ellentétes magának az állításnak a tartalmával. Tehát itt már szorosabb kapcsolat van a kimondott állítás tartalma és az állítás kimondásának cselekedete (aktusa) között. (Megjegyezzük azonban azt is, hogy egy állítás a fenti értelemben vett történelemfölöttisége nem jelenti feltétlenül azt is, hogy itt metafizikai állításról van szó. A „2+2=4” állítást nem tekintjük metafizikainak, mégsem gondoljuk, hogy ez függ a történelmi kortól. Tulajdonképpen ez az állítás már cáfolat is, de tekintsünk el most az aritmetikai állításoktól.)

A fenti idézet állítását („nincsenek történelemfeletti, nyelvtől és kultúrától függetlenül igaz állítások”) a rövidség kedvéért nevezzük el P-nek. Fontos kérdés, hogy maga P történelemfölötti-e, független-e a nyelvtől, kultúrától? Ha igen, akkor P nem lehet igaz, azaz P téves. Az állítás tartalmaz egy olyan rejtett önreferenciát, amely miatt abból, hogy az állítás igaz, az következik, hogy téves, ez pedig nyilvánvalóan ellentmondás. Ha viszont P-t tévesnek tételezzük föl, akkor már nem jutunk ilyen ellentmondáshoz. Ha P téves, akkor van legalább egy olyan történelemfölötti állítás, ami igaz, de ennek nem kell feltétlenül P-nek lennie. Tehát arra az eredményre jutottunk, hogy az idézetben lévő és ehhez hasonló állításoknak szükségszerűen téveseknek kell lenniük, mert ha ezek igazak, akkor ellentmondáshoz vezetnek. Persze, amint az idézet is utal erre, könnyen ki lehet bújni ez alól az ellentmondás alól, mert ez a következő megfogalmazás esetén már nem áll fenn: nincsenek történelemfeletti, nyelvtől és kultúrától függetlenül igaz állítások, kivéve magát ezt az állítást. Az idézett, önreferenciát tartalmazó állítás egyébként hasonlít ahhoz a jól ismert problémához, amikor a krétai Epimenidész azt mondja, hogy minden krétai hazudik. Itt is, ha azt tételezzük föl, hogy Epimenidész igazat mond, abból következik, hogy Epimenidész hazudik. Ha viszont azt tételezzük föl, hogy Epimenidész hazudott, akkor ebből következik, hogy van legalább egy krétai, aki legalább egyszer igazat mondott. De ez nem akkor történt, amikor Epimenidész kimondta fenti állítását.

Tehát arra megállapításra jutottunk, hogy egyes retorzióval cáfolható állítások esetén valójában még arra sincs szükség, hogy a retorzióval kimutassunk valamilyen következetlenséget az állító állítást kimondó tettében, mert egy olyan logikai szempontból problematikus, rejtett önreferencia van az állításban, amely ellentmondáshoz vezet, ha az állítást igaznak tételezzük föl. Viszont ettől az önreferenciától könnyű megszabadulni, amennyiben az állításban megadott terjedelemből (azaz, amire vonatkozik az állítás) kifejezetten kizárjuk magát az állítást. Ezt a magatartást azonban joggal lehet következetlennek mondani. Megkérdezhetjük: milyen alapon történik ez a kizárás?

Aquinói Szent Tamás is használja a  retorzív érvelést. Szent Tamás azt állítja, hogy Isten létezése számunkra nem magától értetődik, ez igazolásra szorul. Egy ezzel szembeni ellenvetést, használva a retorzív érvelést, így fogalmaz meg (ST I q. 2 a.1 obi. 3):

…az igazság létezése magától értetődik, mert aki ezt tagadja, megengedi az igazság létezését, mert ha az igazság nem létezik, akkor igaz az, hogy az igazság nem létezik.  Ha azonban valami igaz, akkor szükséges, hogy az igazság is létezzen. Isten azonban maga az Igazság, János evangéliumának 14. fejezete szerint: „én vagyok az Út, az Igazság és az Élet”. Így tehát Isten létezése magától értetődik.

Az ellenvetésre Szent Tamás rövid válasza: „magától értetődik, hogy az igazság általában létezik, de az, hogy az Első Igazság létezik, számunkra nem magától érthető”. Tulajdonképpen ez a válasz eligazít abban is, hogy a retorzív érvelés mire képes és mire nem. A retorzív érvelést általában azzal szemben használják, aki az embernek valamilyen lehetőségét, képességét, készségét tagadja. A tagadás tette azonban éppen a tagadott lehetőség, képesség megvalósulása. A régi mondás szerint „ex esse ad posse valet illatio”, azaz a tényleges létezésből, a megvalósulásból joggal lehet következtetni ennek lehetőségére is. Amikor valamit megismerünk, valamit állítunk, akkor azt is megismerjük, hogy ezt a valamit most megismerjük, ezt a valamit most állítjuk. Ha tehát azt állítjuk, hogy „2+2=4”, akkor azt is tudjuk, hogy most történelemfölötti állítást teszünk. Ebből viszont következik, hogy ilyen állításokra képesek is vagyunk. Ezért kézenfekvő, hogy amikor valaki elfeledve a tapasztalatot, nem véve tudomást a tapasztalatról, valamilyen lehetőség, képesség, készség létét cáfolja, akkor a retorzív érvelésben mutassunk rá arra, hogy még cáfolni is csak úgy tud, hogy közben megvalósítja a cáfolni kívánt lehetőséget, képességet, készséget.

A retorzív érvelés tehát támaszkodik az „ex esse ad posse vallet illatio” elvre. Ennek az elvnek a megfordítása azonban már nem érvényes, „ex posse ad esse non valet illatio”, azaz egy általános lehetőségből még nem következtethetünk ennek minden konkrét megvalósulására. A retorziv érvelés csak egy konkrét megvalósulásra hívja fel a figyelmet, de ebből nem következtethetünk más konkrét megvalósulásokra is, hanem csak a lehetőség, képesség, készség létére (meg a retorzió által előtérbe állított megvalósulására). Például abból, hogy általában van igazság, még nem következik, hogy az Első Igazság is van. A retorzív érvelés tehát akkor használható, amikor valaki megfeledkezve a tapasztalatról, az embernek valamilyen lehetőségét, képességét, készségét tagadja. Ilyen készség például az úgynevezett első elvek készsége, a habitus primorum principiorum. Az egyik ilyen első elv az ellentmondás elve. Arra azonban már nem alkalmas a retorzív érvelés, hogy például a képesség olyan konkrét megvalósulásait is, mint a metafizikai ismeretek tartalma, igazolja. Ezekben ugyanis már nem az ember képességéről, készségeiről van szó, hanem a létezés legáltalánosabb tulajdonságairól (mint például az egység és a sokaság a létezésben).

Az állandóan változó világban azonban olyan mennyiségekre vonatkozó formákat is felfedezhetünk, amelyek ugyan az érzékelhetőség által nyilvánulnak meg, ezeket feltételezi az érzékelhetőség, de ők maguk már nem feltételezik az érzékelhetőséget. Így ezekkel a formákkal ugyan először az érzékelésen keresztül találkozunk, de ezek megértésében elvonatkoztathatunk az érzékeléstől. Így az ezen formákra vonatkozó tudás, tudomány is általános érvényű, időtlen lesz. Míg a szubsztancia, a lényegadó formák megmaradása, bizonyos állandósága valóságos, ezek a valóságos világban maradnak meg, addig ezek a mennyiségi, alakra vonatkozó formák a valóságos világban sok átalakuláson mennek keresztül, állandóságukat csak annak köszönhetik, hogy valamilyen értelmi létezést nyernek, számokká, „absztrakt” pontokká. szakaszokká, egyenesekké, körökké, háromszögekké stb. válnak. A matematika eléggé elterjedt platonista felfogása szerint ezek esetében nem csupán értelmi, hanem valóságos létezésről van szó, de ez a létezés különbözik anyagi világunk létezésétől. A platonista álláspont meg tudja magyarázni a matematika tárgyainak absztrakt, változatlan, időtől független létezését, de nem tud számot adni arról, hogy a világban miért érvényesülnek a matematika tételei (igaz, hogy csak megközelítőleg). Annak a magyarázata is hiányzik, hogy mi hogyan jutunk matematikai ismereteink birtokába ¹.

A megismerésünkben lévő matematikai formák esetében felmerül a kérdés, hogy ezek minek a formái. Ezzel kapcsolatos még a formák és a matematika tárgyai közti viszony kérdése is. A matematikai tárgyai esetében beszélhetünk-e olyan értelemben egyediségről, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza, ahogyan a konkrét emberek esetében a közös forma az „emberség” formája? A geometria esetében erre igenlő választ kell adnunk, mert több, egymástól különböző pontról, egyenesről, síkról, háromszögről, körről stb. beszélhetünk, sok geometriai tétel ilyenekre vonatkozik. Tehát a matematikában is előfordul, hogy ugyanazt a formát több egyed hordozza. Az anyagi világban az egyedesülés elve, a principium individuationis az az anyag, amely megformálva mindig mennyiséggel, kiterjedtséggel rendelkező anyag és így a dolgokat, a megformált anyagot a kiterjedtség (meg az időbeli létezés) elválasztja egymástól. De mi az egyedesülés elve a matematika objektumaival kapcsolatban?

Az egyedesülés elve valamilyen olyan befogadó képesség (potentia), amely többször is képes ugyanazt a formát befogadni, így a formák befogadása által különböző létezések állnak elő. A tisztán szellemi létezés formákat befogadó anyag nélküli létezés. Ezért van az, hogy az angyali létezésben egy forma csak egyetlen „egyed”, egyetlen angyal által van képviselve. A kérdés a matematikai tárgyaival kapcsolatban az, hogy itt mi az a lehetőség, az az „anyag”, amely lehetővé teszi ugyanannak a formának többszöri, egymástól különböző létezést eredményező befogadását. Tehát, például mi fogadja be a pont, az egyenes formáját?

A megismerés szintjén a dolgok formáját az értelem mint képesség (intellectus possibilis) fogadja be, így tehát értelmünkben ugyanaz a forma van, ami az anyagi világ dolgaiban. Ezek a formák azonban az elvonás (absztrakció) által nyert közös formák, amelyek a világ dolgainak összetettségében jelen vannak. Így értelmünk általános ismerete az emberre vonatkozik, de nem közvetlenül az egyes emberekre. Értelmünk az egyes ember ismeretéhez úgy jut el, hogy visszafordul az érzékeléshez, pontosabban az ezekből nyert képzetekhez (conversio ad phantasmata) és ezeket köti össze az általános fogalmakkal. Így jutunk el (a sokszor emlegetett) Szókratésznak, az embernek ismeretéhez. Ehhez hasonlóan megvan értelmünkben a szám, a pont, az egyenes, a háromszög stb. általános fogalma, de hol vannak a számok, a pontok, az egyenesek, a háromszögek? Ha a fent említett nehézségek miatt ezeket nem helyezzük valamilyen platóni világba, akkor meg kell találni azt a „közeget”, ahol ezek vannak. Ezt a külső világban nem találhatjuk meg, mert, mint említettük, ezek a formák ugyan innen származnak, de mégis olyan általánosságot, idő fölöttiséget nyernek, amelyet a külső világban ezekkel a a formákkal kapcsolatban nem találunk meg. A „közeget” tehát bennünk, a megismerőben kell keresni. Értelmünk önmagában véve, tehát ha eltekintünk az érzékelés képességétől, nem lehet helye a matematika egyedi tárgyainak, mert ebben csak az általános fogalmak vannak meg. Tehát itt megvan a pont, az egyenes, a kör, a háromszög általános fogalma, de itt nem lehetnek a pontok, egyenesek, körök, háromszögek. Itt nem lehet ez a pont, ez az egyenes, ez a kör, ez a háromszög. Marad tehát az embernek az érzéki megismeréshez tartozó képessége. Egy előző bejegyzésben már szó volt arról, hogy itt tulajdonképpen két szintről, a külső és belső érzékelésről beszélhetünk. A külső érzékelés az érzékszervek szintje. Szemünk különböző színes foltokat lát, fülünk különböző hangokat hall stb. A belső érzékelésben ezek az „adatok” összeállnak annak a valaminek az egységes érzéki benyomásává, „képévé”, képzetévé, amiből majd a megismerés folyamán az éppen ugató Mackó kutya ismerete lesz. A belső érzékelés képzetei bizonyos értelemben véve elszakadnak a konkrét időpontban és helyen történő érzékeléstől, ezek a közvetlen érzékelés hiánya esetén is felidézhetőek. A belső érzékeléshez tartozik még az állatoknál az ösztönös értékelő képesség (vis aestimativa), amely abból a szempontból értékeli a képzetet, hogy ez jó vagy pedig valamilyen veszélyt jelent az állat számára, ahogyan például a bárány veszélyesnek értékeli a farkas képzetét. Az ember esetében ennek az ösztönös értékelő képességnek a helyét már az értelemtől áthatott, egyedi helyzeteket és általában az egyediséget kezelő képesség (vis cogitativa) veszi át. Az ember esetében a belső érzékelés tehát az a határterület, amelyen az érzékelés és az értelem már szorosan együttműködnek, így ez alkalmas lehet a szintén határterületen lévő egyedi matematikai tárgyak befogadására. A matematika tárgyainak helyét Aquinói Szent Tamás későbbi írásaiban már egyértelműen a belső érzékelés területére, a képzeletbe helyezi ².

Az előző bejegyzésben említettük, hogy Aquinói Szent Tamás a matematikai objektumaival kapcsolatban beszél az értelmes anyagról, szembe állítva ezt az érzékelhető anyaggal, amely által közvetlenül a dolgok érzékelhető minőségeit ismerjük meg, majd pedig ezekből az egyediség elhagyásával eljutunk a szubsztancia, a lényegadó forma megismeréséhez. Az értelmes anyag, amely tulajdonképpen az általános értelemben vett szubsztancia, a matematika tárgyainak megértése szempontjából nélkülözhetetlen. Ez az az „anyag”,  képesség, amelyből a matematika tárgyai megformálódnak, a képzeleten belül egyedi létet nyernek. Ez az „anyag” fogadja be a különböző (általános) matematika formákat és így keletkeznek a matematika egyedi tárgyai (ez a pont, ez az egyenes), amelyekről aztán a matematika általános tételei szólnak. Ez a befogadás tehát a képzeletben történik, képzeteink ugyanis nemcsak az érzékelés hatására keletkeznek, hanem ez az értelem (és akarat) irányítása alatt is megtörténhet. A címerek például először, ilyen tárgyként (a mitológikus vagy más jelképes motívumokból összerakva) a világban sehol sem léteznek. De a művész tevékenysége alapján ezek képzetként előállnak, majd a képzet alapján a szobrász, a festő munkájaként, az ember alkotásaként a valóságban is megjelennek. De említhetnénk az épületeket is, sőt minden műszaki tevékenység, tervezés által előálló dolgot is.

A matematika tárgyai tehát a képzeletben vannak. Ezek egyformaságáról. egyöntetűségéről az kezeskedik, hogy egyrészt ezek végső fokon a valóságban meglévő formák elvonásával keletkeznek, másrészt az őket elvonó és létrehozó emberi értelem és az ezáltal irányított képzelet működése mindenkiben alapjában véve ugyanaz. Hogy a matematikai tevékenység mennyire a képzeletre van utalva, az is tanúsítja, hogy a matematikai (geometriai) megértéshez szinte nélkülözhetetlenek az ábrák. Egy másik erre utaló dolog a matematikai jelölések fontossága. A matematika jelei mintegy érzékileg megfoghatóan utalnak a matematika tárgyaira, utalnak egy adott tárgy képzeletben történő létrehozására („legyen X egy olyan…”). A jelölések fejlődése fontos szerepet játszik a matematika történetében. A görög matematika jelölések hiányában nem tudott akkora előrehaladást tenni az algebrában, számelméletben, a differenciál- és integrálszámításban (analízisben), mint a geometriában, jóllehet a kiinduló ismeretek már adottak voltak. Még a legabsztraktabb matematikai objektumok esetén is a matematikus a képzeletére van utalva. Ebből kiindulva fejleszti ki meghatározásait és bizonyításait, jut el az általános fogalmakhoz, az általános megfogalmazott tételek bizonyításához.

Képzeletünkben nincsenek egyszerre jelen ennek lehetséges tárgyai. Egy régen nem látott ismerősünk képét abból a „tárházból” emeljük ki, amelyben nem aktív képzeteink tárolódnak. A matematikai képzetekkel kapcsolatban ezt a tárházat az a képesség helyettesítheti, amely az értelmünk által irányítva a matematikai objektumok képzeletünkben való létrehozásának a képessége.

Ezekre a témákra még későbbi bejegyzésekben visszatérünk.

Márt többször volt szó a blogon a hülémorfizmusról, azaz az anyagból és formából való összetettségről. Eszerint minden, amivel találkozunk világunkban, két egymástól megkülönböztethető, de nem feltétlenül fizikailag elválasztható összetevőből áll: anyagból és formából. Az anyag-forma összetettség általánosabban megfogalmazva a képességből és a megvalósultságból, ténylegességből való összetettségre utal. (Ezekkel a fogalmakkal több régebbi bejegyzés is foglalkozott. Ezek közül most egyet említek meg, amelyben ezek együtt fordulnak elő. Arra is felhívjuk azonban a figyelmet, hogy itt még a képesség fogalmára a „lehetőség” szót használtam, ezt azonban időközben lecseréltem le a „képesség” szóra, amely a fogalomnak  jobban megfelelni látszik. De még ezzel sem vagyok teljesen elégedett.) A képesség (potentia) valami befogadására való képesség, ez a ténylegességet, a megvalósultságot (actus) megelőző létezés. A tényleges létezés tehát nem a semmiből „ugrik elő”, ezt már megelőzi a képességi létezés, amely befogadja a tényleges létezést. Ezt a viszonyt többször az anyag-forma viszonnyal fejezik ki. A szó szoros értelmében vett anyag, az elsődleges anyag (materia prima) a lényegadó formát (forma substantialis) fogadja be és így létezik az önállóan létező dolog, a szubsztancia.

A szubsztanciától valóságosan különböznek, de ebben léteznek ennek járulékai (accidentia). A járulékokat először Arisztotelész „kategorizálta”, sorolta osztályokba. Ebből kiindulva ismeri a skolasztika a tíz kategóriát, amelyek közül az első maga a szubsztancia. Ezek a kategóriák: szubsztancia, mennyiség, minőség, vonatkozás, tevékenység, szenvedés (más tevékenysége hatásának a befogadása), hely, idő, helyzet, állapot. Most ezekkel részletesen nem foglalkozunk. A szubsztanciától eltekintve, a kilenc kategória osztályokba sorolja az egy szubsztanciáról állítható dolgokat. Ezek nem azonosak a szubsztanciával, ezek a járulékok mintegy a szubsztanciából „nőnek ki”, ezeket a szubsztancia hordozza. Témánk szempontjából fontos, hogy a szubsztancia és járulékai között a viszony a képesség és a ténylegesség, az anyag és a forma közti viszony. Tehát az „első ténylegesség” a szubsztancia, amely keletkezik, a második ténylegességek pedig ennek járulékai, amelyek a szubsztanciának adnak új formát, de ez a forma nem a lényegadó forma, hanem csak járulékos (akcidentális) forma. Azáltal, hogy a víz 20 fokról 50 fokra felmelegszik, nem szűnik meg víz lenni, de a hőmérséklete megváltozik. Ilyen értelemben beszélhetünk arról, hogy a szubsztancia valamilyen értelemben anyagként viszonylik járulékaihoz, hiszem a járulékok új (járulékos) formát adnak a szubsztanciának.

Maga a szubsztancia (és a lényegadó forma) közvetlenül nem hozzáférhető megismerésünk számára. Megismerésünk eredete az érzékelésben van. Amit érzékelünk, azok a látható, hallható, tapintható, ízlelhető, szagolható minőségek, tehát járulékok. A megtapasztalható járulékokban, elsősorban a minőségekben a megformált anyag érzékelhetősége jelenik meg. Tehát a minőséggel kapcsolatban beszélhetünk érzékelhető anyagról (materia sensibilis). Ami közvetlenül az érzékelés alá esik, az az itt és most érzékelhető anyag. De beszélhetünk az általános értelemben vett érzékelhető anyagról is, amikor elvonatkoztatunk a érzékelés konkrétságáról és erről általánosságban beszélünk. Az általános érzékelhető anyagot közvetlenül nem találjuk meg a világban, ez csak értelmünkben létezik. Erről van szó, amikor azt mondjuk, hogy az ember anyagi létező. Az általános értelemben vett érzékelhető anyag fogalmában tehát elvonatkoztatunk az itt és most egyedileg érzékelhetőségtől, de nem magától az érzékelhetőségtől. Az ilyen általános fogalmak önállóan nem léteznek, de mégsem önkényesen alkotott fogalmak ezek, mert a valóságon alapulnak. Ezek értelmünkben léteznek, de van alapjuk a valóságban (ens rationis cum fundamento in re).

A tomista filozófia szerint a szubsztancia járulékai között bizonyos sorrendiség van. A minőségek föltételezik a mennyiséget, mert például a piros szín minősége alatt mindig valamilyen mennyiség kategóriájába tartozó dolog áll, a piros mindig valamilyen felületnek a színe. A mennyiség (szám, alakzat, felület stb) járuléka tisztán, csak önmagában soha sem jelenik meg érzékelésünk számára, ez mindig valamilyen minőségen keresztül mutatkozik meg. Így tehát mondhatjuk azt, hogy a minőség föltételezi a mennyiséget, de ez fordítva nem áll, a mennyiségről beszélhetünk a minőség nélkül, ez megérthető a minőség és így az érzékelhető anyag nélkül is. A mennyiség vizsgálatában tehát elvonatkoztathatunk a minőségtől és így az érzékelhető anyagtól. Azonban a mennyiségről sem beszélhetünk az alatta álló szubsztancia nélkül. A valóságban mindig valaminek a mennyiségéről van szó. A mennyiség tudománya a matematika tehát eltekinthet a minőségtől, az érzékelhető anyagtól, de nem tekintet el a szubsztanciától, amely, mint föntebb mondottuk, képességként, anyagként viszonyul ahhoz, ami a szubsztanciának (járulékos) formát adó mennyiség. Szubsztancia lehetne mennyiség nélkül is (ilyen például az anyag nélküli, angyali szubsztancia), de mennyiségről nem beszélhetünk az őt hordozó szubsztancia nélkül, enélkül a mennyiséget megérteni nem lehet. Ilyen értelemben beszélhetünk a szubsztanciáról mint arról az érthető anyagról (materia intelligibilis), amely nélkül a mennyiség nem érthető meg, amely nélkül nincs mennyiségekről szóló tudomány, matematika sem. Amint az érzékelhető anyaggal kapcsolatban is beszéltünk általános értelemben vett és egyedi érzékelhető anyagról, ugyanúgy az érthető anyag esetében is beszélhetünk általános értelemben vett és egyedi érthető anyagról is. A mennyiség számára az egyedi érthető anyag az a konkrét szubsztancia, amelynek éppen valamilyen mennyiségéről van szó. A matematikában nyilván nem az egyedi, hanem az általános értelemben vett érthető anyagról van szó.

Az általános értelemben vett érthető anyag értelmünk fogalma, ez külső világunkban valóságként nem létezik, de mégis utal ez arra a valóságra, amely a mennyiségeket hordozza, ami tulajdonosa a mennyiségeknek. Tehát itt is olyan csak értelmünkben létező dologról van szó, amely azonban a valóságban van megalapozva. Tehát ez sem olyan önkényes terméke értelmünknek, mint például a szárnyas ló, a pegazus.

A matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatban a matematika filozófiájában többféle álláspont van. Az egyik ilyen álláspont, a matematikai platonizmus  szerint a matematika világa értelmünktől és az anyagi valóságtól függetlenül létező világ. Ezen álláspont érvei közé tartozik, hogy a matematika sok (sőt talán a modern matematika legtöbb) objektumának nincs megfelelője a külső valóságban. A külső valóságban nem találkozunk végtelen halmazokkal, négy vagy akár száz dimenziós terekkel, képzetes számokkal. De még igazi pontokkal, egyenesekkel, körökkel sem találkozunk, mert amit a valóságban pontnak tekintünk, az nem kiterjedés, dimenzió nélküli valami, hanem ez egy kicsi folt, amelynek ráadásul még vastagsága van. Hasonló a helyzet az egyenesekkel, körökkel, háromszögekkel, sokszögekkel stb kapcsolatban is. A platonista elképzelés egyik nehézsége az, hogy nem tudja világosan megmagyarázni, hogy miért és hogyan van mégis kapcsolat a matematika platoni világa és a mi világunk között, továbbá hogyan van az, hogy képesek vagyunk megismerni ezt a platoni, anyag nélküli világot.

A matematikai tárgyak realitásának léteznek a platonizmustól különböző, más felfogásai is. Egy ilyen elképzelést ismertet James Franklin könyve (An Aristotelian Realist Philosophy of Matematics). James Franklin hangsúlyozza, hogy a matematikai fogalmak a bennünket körülvevő világból erednek, de mégis elismeri, hogy a matematikai tárgyai jelentős részének nem találjuk meg közvetlen megfelelőjét külső világunkban. Ezért a matematikával kapcsolatban szemiplatonista arisztotelizmusról beszél.

A következő bejegyzésben az érthető anyag fogalmára támaszkodva közelítjük meg a matematika tárgyainak világát. Szerintünk ugyanis ez az a fogalom, amely megjelöli azt az „anyagot”, amelyből megformálódnak matematikai fogalmaink, a matematika tárgyai. Az érthető anyag, mint említettük, tulajdonképpen valamilyen általános értelemben vett szubsztancia. Az érthető anyag fogadja be értelmünk munkájának hatására azokat a formákat, amelyekkel a matematika foglalkozik. Ezek a formák részben a körülöttünk lévő világból származó absztrakció hatására alakulnak ki, de maga az értelem is kialakíthat ezekre támaszkodva, de ezeken túl is lépve új formákat, amelyeknek közvetlen megfelelőit nem találjuk meg a külső világban. Előfordul azonban, hogy váratlanul ezek a formák döntő módon segítenek a külső világ fizikai megismerésében, utalva arra, hogy azok az összefüggések, amelyeket értelmünk feltár a matematika különböző objektumai között, megfelelnek a külső világunkban is jelenlévő összefüggéseknek.

Felmerül a kérdés, ha nem lenne társadalmi, gondolati stb. egészség, hanem csak emberi, akkor vajon nem lenne-e egyértelmű az egészségesség fogalma. A válasz nemleges, mert még ilyenkor sem lehetne az ember egészségét megérteni az ember nélkül. A súly egyértelmű fogalma azonban érthető anélkül is, hogy megjelölnénk azt, aminek a súlyáról van szó. Az analóg fogalomnak tehát fontos tulajdonsága az, hogy magát a fogalmat nem lehet teljesen megérteni anélkül, hogy ne vonnánk be a fogalomba valamilyen értelemben azt is, akiről vagy amiről a fogalom állítható.

Az egyértelmű fogalmakra támaszkodó megismerésnek vannak határai. Ez a megismerés eltekint a létező konkrétságától, a dolgok egyediségétől. Az egyediségből adódó különbségek helyett olyan különbségekkel (és azonosságokkal) foglalkozik, amelyek nem az egyediségből adódó különbségek. Ezzel az elvonatkoztatással jutunk a természettudományok, a természetfilozófia tárgyaihoz. (Most nem foglalkozunk azzal a sajátos absztrakcióval, amely a matematika absztrakciója.) Az egyértelmű fogalmakra támaszkodó megismerés tehát a különböző általánosságú fogalmakon, ezen fogalmak elemzésén keresztül ismeri meg a valóságot. Ebben a megismerésben is megvan az a törekvés, hogy kevés fogalom és az ezek közti kevés összefüggés által írja le a valóság minél szélesebb tartományait. Különösen megmutatkozik ez a fizikai elméletekben, amelyek kevés fogalom kevés tulajdonsága közti néhány (matematikai) összefüggés által próbálják leírni az anyagi valóság széles tartományának a viselkedését. Az egyértelmű fogalmakra támaszkodó megismerésnek nyilvánvalóan határt szab az, hogy az absztrakt fogalmaihoz vezető úton elvonatkoztat a valóság bizonyos mozzanataitól (például egyediség), amelyek így kiesnek a vizsgálatok köréből. Azok a redukciós törekvések, amelyek a teljes valóságot például a fizika törvényei alapján próbálják megérteni, a fentiek miatt nyilván eleve kudarcra vannak ítélve.

Érdekes tulajdonsága egyértelmű fogalmainknak, hogy ezek mennél több dologra vonatkoznak, mennél általánosabbak, annál inkább szűkülnek tartalmukban. Az ember igen gazdag tartalmú fogalmához képest, az állat vagy az anyagi test fogalma „létben kevésbé gazdag”, kevesebb, szegényesebb tartalommal rendelkezik. Van valami igazság a régi mondásban: „az igazi specialista a semmiről mindent tud, az univerzalista pedig a mindenről semmit”. Ahogyan haladunk az egyre általánosabb felé vezető az úton, az egyre több dologra vonatkozó ismeretek felé, ismereteink tartalma egyre szegényebb lesz. Ez nem jelenti azt, hogy az anyagi létezők igen általános, mennyiségi tulajdonságait vizsgáló, matematikára erősen támaszkodó fizika a megismerés szempontjából jelentéktelenné válna. Mégis, a nagyobb általánosság valamilyen értelemben az ismeretek szegényedéséhez vezet. Amikor azonban ezen az úton eljutunk a létezés fogalmához, a helyzet megfordul. Ennek a fogalomnak a tartalma a leggazdagabb, mert semmit sem hagyhatunk ki belőle, ami létezik. Ennek a fogalomnak egyaránt kell tartalmaznia a létező különbséget és a létező egységet. Emberi értelmünk azonban nem képes egyetlen megismerő aktussal tisztán és teljesen világosan átfogni ezt a gazdagságot. Ezért a létezés fogalma számunkra homályos fogalomként jelentkezik, ez a fogalom egyszerre tartalmazza a megtapasztalható létezés egységét és a létezésben lévő különbségeket is. Ha a létezést egyértelmű fogalomként kezelnénk, akkor ez ellentmondáshoz vezetne, amint erről szó volt az előző bejegyzésekben (itt és itt) Parmenidész gondolatmeneteivel kapcsolatban.

A közvetlenül a létezéssel foglalkozó metafizika tehát nem azzal az elvonással, absztrakcióval nyeri központi fogalmait, mint amilyen absztrakcióval nyerjük egyértelmű fogalmainkat. Ez utóbbi absztrakció a megtapasztalt létező valamilyen mozzanatát önmagában, a többi mozzanattól elszakadva, ezeket kihagyva jut el az önmagában is érthető absztrakt fogalomhoz. Egy analógiáról szóló bejegyzésben talán megengedhető metaforikus vagy inkább allegorikus kifejezéssel azt mondhatnánk, hogy az egyértelmű fogalmakon keresztül történő megismerés az absztrakció hálóját meríti a lét óceánjába, és ezt a hálót kiemelve azzal foglalkozik, ami a hálóban maradt. A metafizika megismerési módját az „elvonás”, az „absztrakció” szavak helyett inkább az „elválasztás”, a separatio szavakkal lehet jellemezni. Ez azt jelenti, hogy a létezést nem azonosítjuk eleve a konkrét dologban megtapasztalt korlátos létezéssel. Ha folytatnánk az előbb megkezdett allegóriát, azt mondhatnánk, hogy szemünket fölemelve az éppen körülöttünk lévő vízről, megpróbálunk valamit a létezés óceánjáról megsejteni, de eközben sem szabad elfelejtenünk azt, hogy a közvetlenül körülöttünk lévő víz is az óceán vize. Ezt a képet azonban ki kell egészítenünk azzal, hogy ez a „föltekintés” nem valami anyagi létezéstől független angyali vagy akár isteni létezés meglátását eredményezi. Mindössze arról van szó, hogy a létezést olyan értelemben választjuk el az anyagi létezéstől, hogy nem tekintjük ezt úgy azonosnak az anyagi létezéssel, hogy az anyagtól független létezést eleve, fogalmilag elutasítanánk. A metafizikai vizsgálat tehát semmilyen létezést nem hagy ki, hanem ezt minden „kihagyás” nélkül próbálja megérteni. Ez a megértés azonban nem valósítható meg az egyértelműség talaján, ezért a metafizika fogalmai, kijelentései, gondolatmenetei nem az egyértelműség egységét, hanem a hasonlóság egységét tételezik fel.

Mint láttuk, a hasonlóság bizonyos esetei feloldhatóak olyan módon, hogy a hasonló dolgokban találunk valami egyértelműen azonosíthatót. Ezt kifejezhetjük egyértelmű fogalmak segítségével, egyúttal megfogalmazva a különbséget is ugyancsak egyértelmű fogalmak segítségével. A különböző színű biliárdgolyók például azért hasonlítanak egymáshoz, mert ugyanolyan az alakjuk, ugyanaz a méretük, de különbözőek színükben, leginkább azonban abban, hogy az alakjuk által megformált anyaguk különböző, ezáltal tudnak elhelyezkedni a tér különböző helyein. A klasszikus tudományos meghatározás (definitio) is így jár el. Először egy már ismert egyértelmű fogalom segítségével utalunk arra a körre (genus proximum) amelyben a meghatározandó dolog elhelyezkedik. A következő lépésben ehhez hozzáadjuk azt az ugyancsak egyértelmű különbséget (differentia specifica), amely a dolgot megkülönbözteti a körben lévő többi dologtól. Így például azt mondjuk, hogy az egyenlő oldalú háromszög (a név tulajdonképpen már a meghatározás), olyan háromszög (genus proximum), amelynek az oldalai egyenlők (differentia specifica). A valódi analógia, hasonlóság esetén ilyen visszavezetés nem lehetséges, a visszavezetések után is visszamarad a hasonlóság egy olyan mozzanata, amely egyértelműség által nem feloldható. Az analóg fogalom, mint állítmány így nem jelölhet valami olyat, ami úgy része az alanynak, hogy ez a rész a megértés, megismerés szempontjából határozottan elválasztható az alanytól, mert másban is ugyanúgy megvan. Az analóg fogalom által jelölt valami olyan dolog, amely önmagában, az alanyt kizárva nem értelmezhető. De ez nem lehet azonos az alannyal sem, mert ekkor nem hasonlóságról, hanem azonosságról lenne szó. Első megközelítésben azt mondhatjuk, hogy az analóg fogalom az alanyok és a róla állított valami (például létezés, egészség) közti viszonyok hasonlóságára utal. Arról van tehát szó, hogy az analóg fogalom az alany és az állítmány közti viszonyt, vonatkozást (vagy ennek alapját) jelöli, és ez tekinthető hasonlónak azokban a különböző alanyokban, amelyekről az analóg állítmányt állítjuk. Az előző bejegyzésekben beszéltünk az analógia fajtáiról. Valójában a klasszikus tomista véleménnyel összhangban, ezek közül az analogia proportionalitatis-ról, a viszonyok, vonatkozások analógiájáról mondható az, hogy ez a tulajdonképpeni analógia.

A természettudományok egyértelmű fogalmakkal dolgoznak, illetve ilyenek kialakítására törekednek. A fentiekben láttuk, hogy a metafizika számára ez az út nem járható. Azt is láttuk, hogy a metafizikai analógiái ennek ellenére a valóságra vonatkoznak. A következő bejegyzés a metafizikai ismerettel, mintegy az ismeret szempontjából foglalkozik, azt vizsgálva, hogy a nem egyértelmű, analóg fogalmak mennyiben képesek ismereteket közvetíteni.

Egy régebbi bejegyzés már közölt egy nagyon rövid összefoglalót a tomista ismeretelméletről. A megismerés első szakasza a fogalomalkotás szakasza. Ezt a szakaszt a skolasztikus szakkifejezés egyszerűen felfogásnak, megragadásnak, apprehensio-nak nevezi. Ebben a szakaszban értelmünkben létrejönnek a megismert dolgok, tulajdonságok stb. fogalmai. Értelmünk ebben a szakaszban elsősorban az absztrakció műveletére támaszkodik. A második szakaszban az értelem a fogalmakat elemezve állító és tagadó ítéleteket, állításokat képez. Ezek az ítéletek valamilyen összetevő és szétválasztó (componens et dividens) műveletek eredményeként jönnek létre. Az állító ítéletek különböző dolgok összetartozását fejezik ki, a tagadó ítéletek pedig az össze nem tartozást fogalmazzák meg. A harmadik szakasz a logikai következtetések szakasza, amelyben következtetés útján a meglévő ítéletekből új ítéletekhez jutunk.

A skolasztikus jelentéselméletet az úgynevezett „skolasztikus háromszög” jellemzi. Eszerint három nagy területről, három síkról lehet beszélni. Az első nagy terület a tőlünk függetlenül létező dolgok területe. A második terület a dolgokról való, értelmünkben lévő ismeret területe. A harmadik terület a nyelv területe, azaz itt ismereteink nyelvileg való megfogalmazásáról van szó. A megismerés fentiekben ismertetett három a szakaszának megfelelően az első szakaszban keletkezett fogalmaknak a nyelv szavai felelnek meg. Magát a fogalmat néha belső, mentális fogalomnak is szokták nevezni szemben az ennek megfelelő, érthető tárgyi valósággal, a külső fogalommal. Így az ember általános fogalmának megfelel az az emberség, amely minden emberben megvan. Ugyanakkor beszélhetünk azokról az egyedekről is, akikben az emberség megvan. A második szakaszban keletkező ítéleteknek, állításoknak a nyelvben a mondatok felelnek meg. A következtetések is leírhatók nyelvi sémák segítségével. A fentieket szem előtt tartva vizsgálhatjuk az analógiákat jelentéstani szempontból.

Ha a nyelv síkjáról indulunk ki, akkor az egyértelmű szavakról azt mondhatjuk, hogy ezeknek az értelemben egyetlen egyértelmű fogalom felel meg. Az emberség, az “ember” szó egyértelműen állítható azokról, akikben ez az emberség megvan. Bizonyos analógiák mögött ugyancsak felfedezhető valamilyen egyértelműség. Az „egészséges” szó analóg használatának példakénti említése elterjedt a skolasztikusok között. Beszélünk egészséges emberről, egészséges táplálékról, egészséges életmódról stb. Ezek közül az ember esetében az egészség, mint tulajdonság egyértelműen alkalmazható. A táplálék, az életmód egészségessége csak arra utal, hogy ezek elősegítik, okozzák az ember egészségét. Ha az ember egészségétől eltekintünk, a táplálékra, az életmódra alkalmazva tulajdonképpen érthetetlen az „egészséges” szó. Ezekben az esetekben az analóg szóhasználatot valamilyen tőlük különböző, hozzájuk képest külsődleges dologhoz (az ember egészségéhez) való viszony, az okság viszonya alapozza meg. Az ilyen analógiát, amelyet szakkifejezéssel analogia proportionis-nak neveznek, Cajetanus bíboros nem is tekinti igazi analógiának. Beszélhetünk azonban az „egészséges” szó olyan használatáról is, ahogyan például ezt az „egészséges gondolkodás”, „egészséges társadalom”, sőt „egészséges ötlet” kifejezésekben használjuk. Ezekben az esetekben már valódi hasonlóságról van szó. Az egészséges emberben, az egészséges gondolkodásban, az egészséges társadalomban, az egészséges ötletben van valami olyan hasonló, amelyre az “egészséges” szó utal. Első pillanatra úgy látszik, hogy a társadalom, a gondolkodás, az ötlet egészségessége sem érthető meg az emberi egészség figyelembevétele nélkül, tehát mintha itt is felfedeznénk valamit, ami bizonyos értelemben véve külsődlegesnek tekinthető a társadalomhoz, a gondolkodáshoz, az ötlethez képest. Most azonban csak arról van szó, hogy a hasonló dolgok elnevezésében kiemelt szerepet játszik az emberi egészség, mint legközvetlenebbül, legelőször tapasztalt valami. Ez az elsőbbség azonban csak a megismerés rendjében tapasztalt elsőbbség, nincs szó valamilyen „ontológiai” értelemben vett viszonyról. Valójában megérthetjük a gondolkodás, a társadalom, az ötlet egészségét anélkül, hogy az ember egészségét figyelembe kellene vennünk. A hasonlóság persze fennáll, de valójában az „egészséges” szó nem magára hasonlóságra utal, hanem arra a valamire, ami az egészségesnek mondott dolgokban megvan, és ami alapján ezek ebben a vonatkozásban hasonlítanak egymásra. A társadalom egészsége azonban nem érthető meg a társadalom nélkül, ahogyan az ember egészsége sem érthető meg az ember nélkül. A társadalom egészsége viszont megérthető az ember egészsége nélkül, az ember egészsége megérthető a társadalom egészsége nélkül. De a társadalom egészsége hasonlít az ember egészségére. Az egészség analóg fogalma tehát valami olyanra utal, amely különböző az ember, a társadalom, a gondolat esetében, ugyanakkor ez a valami az alapja annak a hasonlóságnak, ami az ember egészsége, a társadalom egészsége és a gondolat egészsége között van.

Összehasonlításként vegyünk egy nagyon is egyértelmű tulajdonságot, a súlyt. Az embernek is van súlya, a kutyának is van súlya, az autónak is van súlya. A súly azonban megérthető akkor is, ha eltekintünk az embertől, a kutyától, az autótól. A súly a testek általános értelemben vett, egyértelműen érthető tulajdonsága, amelynek megértéséhez nem kell annak a tudása, hogy kinek, minek a súlyáról van szó.

Ha a skolasztikus háromszög megközelítéséből indulunk ki, azt mondhatjuk, hogy az egyetlen analógiát kifejező szónak megfelel ugyan az értelem egyetlen analóg fogalma, de ez a belső fogalom utal a külső világban azokra a különböző dolgokra, alapokra is, amelyek lehetővé teszik azt, hogy hasonlóságról lehessen beszélni. A fogalom egységét a hasonlóság biztosítja, de ez a hasonlóság értelmesen nem fogható fel azok nélkül a különböző alapok nélkül, amelyek a hasonlóság alapjai. Azt mondhatjuk, hogy az az absztrakció, amelynek eredménye az analóg fogalom, homályos, nem tökéletes absztrakció, mert a különböző dolgokból nem tudja kivonni azt, ami ezek nélkül a dolgok nélkül is érthető, ami ezekről a dolgokról egyértelműen állítható. A hasonlóság önmagában, azok nélkül a dolgok nélkül, amelyek hasonlóak, nem érthető meg, ugyanakkor a hasonlóság mégis valamilyen belső egységet létesít ezek között a dolgok között. Az analóg fogalom egységét ez a belső egység alapozza meg.

Láttuk, hogy a metafizika és a teológia az analóg fogalmak használatára van utalva. Felmerül a kérdés, hogy a homályos, analóg fogalmak használatával juthatunk-e valamilyen, tudományos értelemben használható ismerethez. Vagy inkább csak egy olyan költészetről van szó, amely ugyan a valóságról szól, de mégiscsak költészet? Az egyik bejegyzésben már volt arról szó, hogy a költői értelemben vett analógia, hogyan válik el a filozófiai értelemben vett analógiától. “A várt védő oroszlán elűzte az ellenséget” mondat egy hasonlóságra utal az oroszlán bátor harcossága és a várat védő harca között. A nyelvi kifejezés ugyanakkor nem jelöl meg egy olyan valamit, ami a hasonlóság alapja lenne mind az oroszlánban, mind a várat védőben. Ha nem tudnánk valamit az oroszlánról, akkor értelmetlen lenne a mondat. Ezért az ilyen metaforikus kifejezés nem tekinthető filozófiai értelemben vett analóg fogalomnak. Mindenesetre azonban ez is utal arra a belső rokonságra, ami a költészet és a metafizika, a költészet és a teológia között van, de ezek nem azonosak egymással. A következő bejegyzésben folytatjuk annak vizsgálatát, hogy az analógia alapján lehet-e tudományos ismeretekhez jutni.

A geometria tárgyaihoz elvezető matematikai absztrakcióban még egy érdekes dologgal találkozunk. Az anyagi világban kiterjedt és mozgó tárgyakat találunk. A kiterjedés és a mozgás következtében ezek a tárgyak vonatkozásban (relációban) vannak egymással. Egyik tárgy elfoglal egy helyet, amelyet egy másik tárgy nem foglalhat el, egyik tárgy közvetlenül a másik mellett lehet és így határosak egymással, egyik tárgy egy másik tárgyhoz közelebb lehet, mint egy harmadik tárgy stb. Értelmünk felfogja ezeket az anyagi világban valóságosan létező relációkat, amelyekből rendkívül sok van, amelyek átszövik az anyagi világot. Értelmünk ezen relációk sokaságát valamilyen egységbe akarja hozni és így megalkotja a tér fogalmát, amely mintegy tartalmazza a tárgyakat és amelybe, mint egy egységes közegbe, elhelyezhetők ezek a relációk.  Az anyagi valóságban nincs tér, ez csak értelmünkben létezik, de nem önkényes képződmény, hanem az anyagi valóságon alapul: ens rationis cum fundamento in re. A tér fogalma értelmünk alapvető fogalma az anyagi világ hétköznapi felfogásával, megértésével kapcsolatban is. Tulajdonképpen ez a tér az alapja a geometriai tér fogalmának, amelyben elhelyezkednek a geometria különböző tárgyai. Most csak röviden megemlítjük, hogy a térhez hasonlóan az idő sem tekinthető az anyagi világban valóságosan létező dolognak. Ugyanakkor sem a tér, sem az idő nem tekinthetők valamilyen eleve adott, a priori formáknak, mert a tér és idő ugyan értelmünk formája, de ez a forma az anyagi valóságban lévő formákra alapozódik. Az idő alapja a valóságban megtapasztalható változásokban van, amelyek következtében valóságosan megtapasztalható relációt jelentenek az “előtte”, “utána”, “korábban”, később” stb. szavaink. Ezeket a relációkat értelmünk alkotása, az idő fogja egységbe, amely egységnek feltétele az az értelmes létezés, amely számára van múlt, jelen és jövő.

A matematikai absztrakció által képzett formák tehát az anyagi világban lehetőségként vannak jelen, de ez a lehetőség nem az anyagi világ anyagi okok által megvalósítható lehetősége. Ez tulajdonképpen az anyagi világról való ismereteinkben rejlő lehetőség. A mai geometria az általunk megszokott euklideszi terek mellett ezek alternatíváit is, a nem euklideszi tereket is ismeri. Tehát geometriai terekből több is van és éppen a modern fizika és kozmológia veti fel azt a kérdést, hogy az Univerzumra vajon melyik tér alkalmazható. Mint láttuk, a tér fogalma az anyagi világban valóságosan meglévő relációkra épül. Ezekről a relációkról szóló ismereteink érzékszerveink adataiból indulnak ki. Ismereteink abba az irányba vezetnek, hogy az érzékszerveinkkel közvetlenül “befogható” világ euklideszi szerkezetű és ezért a megszokott, évezredek óta használt térszemléletünk euklideszi. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az Univerzumban érvényes geometria feltétlenül euklideszi szerkezetű lenne. Ez csak annyit jelent, hogy érzékszerveink szokásos hatóterületén belül az esetleges nem-euklideszi szerkezet nem észlelhető. (A Föld görbületét sem észleljük mindennapi életünkben.) A 19. század folyamán több matematikus (például Gauss, Bólyai, Lobacsevszkij) felismerte azt, hogy az euklideszi geometria híres párhuzamossági axiómája helyettesíthető más axiómákkal is úgy, hogy így felépíthetők nem eulideszi geometriák is. Lokális tapasztalataink azonban nem utalnak szükségszerűen arra, hogy világmindenségünkre nem az euklideszi geometria alkalmazható. Erről csak a közvetlen tapasztalatainkat jelentősen meghaladó nagyon nagy (vagy nagyon kis) méretek esetében lehet szó.

Amint az előző bejegyzésekben láttuk, a matematikai absztrakció az emberi megismerés igen sajátos területe. Az az absztrakció, amelyben csak a dolgok konkrétságától, az érzékelés tértől és időtől függésétől tekintünk el, olyan formák megismerését eredményezi, amelyek az anyagi világ valóságos formái. Tipikusan ilyen formák a lényegadó formák (formae substantiales), amelyek a magukban létező dolgok (szubsztanciák) formái. Amint arról már több bejegyzésben is szó volt, ezek a formák közvetlenül formálják meg az elsődleges anyagot (materia prima), így biztosítva a magában álló dolog egységét. Ez az egység az anyagi létezéssel szükségszerűen együttjáró összetettség miatt abban is megmutatkozik, hogy például az anyagi világban található legmagasabb egység formájába, az ember formába más formák is beépülnek. Ezek közül egyesek bizonyos tulajdonságok formái. Más formák beépülő részek formái. Ilyenek a szervek, sejtek, molekulák, atomok, elemi részek formái. Ezek a formák nem önálló, lényegi formák, hanem csak beépülő részek formái. A természettudományok vizsgálják a teljesebb formák más formákból való felépülésének módját. Ez a megközelítési irány jogos és az elmúlt évszázadokban nagy sikereket ért el, a technológia, a gyógyítás olyan fejlődését tette lehetővé, amely hatalmas változásokat hozott. Ugyanakkor a teljesebb formák, köztük a lényegadó formák soha sem lesznek teljesen érthetőek a természettudományok “redukciós” kutatásainak eredményeként. A kevésbé fejlett formák fejlettebb formákban való összehangolt működése nemcsak egyik oka, hanem jele is a fejlettebb forma egységének. A természettudomány, elsősorban a fizika egyre kevésbé “fejlett” formák után kutat, ezek tulajdonságainak a felderítésével foglalkozik. Ez a kutatás azonban soha nem jut el egy olyan elemi formához, amelynél már nincs elemibb forma. A matematikai absztrakció viszont eléri azokat a formákat, amelyek a mennyiség minden anyagi létezőben jelenlévő formájára vonatkoznak. Ezek a formák azonban a maguk tisztaságában már nem lehetnek az anyagi valóság formái, ezért a matematika világa egy ideális világ, amelynek gyökerei azonban az anyagi valóságban vannak. Ez a magyarázata annak, hogy az elemibb formákat kutató fizikában olyan sikeres a matematika alkalmazása, hiszen a fizika formáinak tartalmát mindössze néhány, csak mennyiségileg jellemezhető tulajdonság alkotja, ezért ezek jól modellezhetők a matematika ideális világának segítségével. A matematikai tárgyak ontológiai helyzetének vizsgálata így elvezet a fizika tárgyai ontológiai helyzetének vizsgálatához. Régebbi bejegyzések (itt és itt) már foglalkoztak ezzel a témával és terveink szerint ilyen bejegyzések még a jövőben is lesznek.

Az előző bejegyzésben említettük, hogy a természetes számokkal kapcsolatban lehet beszélni valamilyen egységről és különbözőségről. A megszámolt valamik valamiben egyek, ez alapján tekintjük őket a számolásnál valamilyen értelemben összetartozónak. Ugyanakkor különböznek is, mert ha nem különböznének, akkor a számolás az egyes számnál befejeződne. A továbbiakban egy olyan különbségről lesz szó, amely anyagi világunk alapvető jellemzője. Ez a különbség az egyedek különbsége. Ha a megformálatlan anyagról, az elsődleges anyagról (materia prima) beszélünk, akkor ezt formák befogadására való képességként jellemezhetjük. Ez a képesség azonban nem egyetlen forma, hanem több forma befogadásának a képessége. Az is előfordul, hogy ugyanaz a forma többször formálja meg az elsődleges anyagot, ez a helyzet például a kutya-formával vagy az elektron-formával. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha ugyanazon forma általi többszöri megformáltságok valamiben különböznek egymástól. Ez a különbség nem származhat a formától, hiszen ez ugyanaz. Ebből következik, hogy a különbség  az anyagból ered, ezért a tomista álláspont szerint az egyedesedés, az individuáció elve (principium individuationis) az anyag. Az anyag tehát képes a forma által képviselt egységbe valamilyen megkülönböztetést vinni. A konkrét egyedek közötti különbség mindennapi tapasztalatunkban legalapvetőbben abban mutatkozik meg, hogy ezek nem foglalhatják el ugyanabban a pillanatban ugyanazt a helyet. Az anyagnak az a lehetősége, hogy a forma azonosságának az egységébe megkülönböztetést vigyen, valamilyen külön, első formaként nem valósul meg. Itt tehát egy valóságos lehetőségről van szó, amelynek azonban tiszta, más formákat nem feltételező megvalósulása nem létezik a tapasztalható világban. Ennek oka az, hogy tartalom-nélküli különbségről, mint tisztán megvalósuló formáról nem lehet beszélni az anyagi valósággal kapcsolatban. Ugyanakkor a matematika világában lehet beszélni ezen lehetőség (és a rá épülő lehetőségek) tiszta formakénti megvalósulásáról, mert itt már a tartalom nélküli különbség feltételezése is elegendő a matematikai tárgyak létéhez. Így például a halmazelmélet halmazai esetében elegendő annak feltételezése, hogy ezen halmazok elemei különböznek, nincs arra szükség, hogy konkrétan megjelöljük azt, hogy miben áll ez a különbség.

A matematikai ismeretek eredetéről szóló bejegyzések sorozatát ezzel a bejegyzéssel egyelőre befejezzük, anélkül, hogy egy részletesen kidolgozott álláspontot alakítottunk volna ki. Megjegyezzük, hogy bejegyzéseinkben most csak a matematika anyagi világgal legszorosabb kapcsolatban lévő tárgyaival, az aritmetikai és geometriai legalapvetőbb tárgyaival foglalkoztunk. Amint említettük, a megismerés tárgyai lehetnek maguk az ismeretek is (secunda intentio). Ezek alapján a matematika számára újabb, még “absztraktabb” tárgyak keletkezhetnek. Ezekben a bejegyzésekben erről sem volt részletesebben szó. Még azt is megjegyezzük, hogy a bejegyzésekben vázolt megközelítés korántsem mondható minden részletében a tomista iskola egyöntetű álláspontjának. Ilyen, teljes egészében kidolgozott álláspontról még nem beszélhetünk. A témával kapcsolatban megemlíteném Jacques Maritain The Degress of Knowledge című könyvének témával foglalkozó részeit és Armand Maurer cikkét.

A következőkben az aritmetika legalapvetőbb fogalmát, a természetes szám fogalmát elemezzük abból a szempontból, hogy mi ennek az alapja az anyagi valóságban. (Természetes számok a pozitív egész számok, tehát az 1,2,3…) Az egynél nagyobb természetes számokat tartalmazó állításokban megtalálható az egységnek és a különbözőségnek valamilyen mozzanata. “Az öt birka legel a réten” állításban például az egységet az jelenti, hogy a birkák egy konkrét réten éppen legelnek. Ugyanakkor különbözőségről is szó van. Ezt a különbséget fejezi ki például az a tény is, hogy az öt birka a térben a rét különböző helyein legel. Ha nem lenne különbség köztük, akkor csak egyetlen birka legelne. Ez az egység és vele együtt a különbség is az anyagi világ valósága. “A parkolóban öt autó áll” állításban hasonlóan felfedezhető az egység mozzanata: az autók a parkolóban állnak. Ugyanakkor megtalálható a különbség is: az autók különböző parkolóhelyeken állnak, mert csak így lehet több autóról szó. (Meg kell azonban jegyeznünk, hogy az egység és különbözőség állításával nem adjuk fel az ellentmondás elvét, mert az egységet és különbözőséget nem ugyanarról, ugyanabból a szempontból állítjuk.) A két helyzet (öt birka a legelőn, öt autó a parkolóban) között azonban van valamilyen hasonlóság. Ez a hasonlóság lehetőséget ad arra, hogy az autók elmenjenek a legelőre és minden autó hazaszállítson egy birkát. A szállítás folyamán az összes autót használtuk, az autók csak egy birkát szállítottak és minden birka hazakerült. Ha a parkolóban csak négy autó lett volna, akkor egy birka a legelőn maradna. Ha viszont hat autó lett volna a parkolóban, akkor egy autó birka nélkül ment volna el a legelőről. Tehát a két helyzet között van valami hasonlóság, ez a hasonlóság valamilyen lehetőségben vagy lehetőségekben mutatkozik meg. Ezeknek a lehetőségeknek nem kell ténylegesen is megvalósulniok, értelmünk mégis felismeri ezeket, ezekre utal a természetes számokkal, jelen esetben az ötös számmal. Amikor tehát az ötös számot használtuk különböző helyzetekben, akkor ezzel olyan lehetőségekre utaltunk, amelyek valamilyen módon “összehozzák” az öt valamiket, legyenek ezek  birkák, autók, felhőkarcolók stb.

Láttuk tehát, hogy a szám fogalma feltételez valamilyen egységet és különbözőséget. Megjegyezzük, hogy az egységet az is biztosíthatja, hogy mi jelőljük ki  azokat a tárgyakat, amelyeket például megszámolunk. Ez történik például akkor, amikor kiválasztunk két birkát az ötből. Ilyenkor az (új) egység alapja a mi választásunk. A természetes szám fogalmában azonban eltűnik az egység és különbözőség konkrét tartalma, ezért beszélhetünk öt birkáról és öt autóról, függetlenül attól, hogy ezekben az esetekben mi az egység és különbözőség konkrét tartalma. Ezért a természetes szám nemcsak az anyag legalapvetőbb tulajdonságával, a mennyiséggel kapcsolatban használható, hanem beszélhetünk a nem anyagi létezéssel kapcsolatban is számosságról. Így beszélhetünk a hét arkangyalról, akik közül hármat említ a Szentírás (Mihályt, Gábrielt, Ráfaelt). Esetükben a különbözőséget nem az anyagi létezéssel együtt járó kiterjedtség biztosítja, hanem a három angyal lényegi, természeti különbözősége.

Valamilyen, de nem meghatározott egység és különbözőség alapján hozzuk létre a halmaz fogalmát, amelyben az egység abban fejeződik ki, hogy egy halmazról van szó, a különbözőség pedig abban, hogy ennek egymástól különböző elemei vannak. A számosság tulajdonképpen bizonyos halmazok közös tulajdonsága.

A természetes számok ontológiai helyzetével kapcsolatban azonban talán még mindig felvethető az a kérdés, hogy az “ötösségnek” nem felel-e meg valamilyen elkülöníthető, anyagban valóságosan létező forma. A kutyaságnak megfelelő forma metafizikailag elkülöníthető Bodritól, hiszen ha ez nem lenne így, akkor Bodri azonos lenne a kutyasággal, azaz Bodri lenne az egyetlen kutya. Nem lehet-e elkülöníteni az “öt kutya” formától az “öt” formát úgy, hogy az “ötről” is feltételezzük azt, hogy ez anyagban valóságosan létező forma? A válasz nemleges. Az előzőekben láttuk, hogy a természetes szám fogalma úgy tételez fel valamilyen egységet és különbözőséget, hogy ezekhez semmilyen tartalom nem tartozik, azaz az természetes szám szempontjából nincs jelentősége annak, hogy miben áll ez az egység és különbözőség. Ilyen forma azonban csak az értelemben alakulhat ki absztrakció révén, mert az értelmünktől független létezés rendjében nincs egység és különbözőség csak önmagában, tartalom nélkül. Azaz az egység mindig valaminek az egysége, a különbözőség pedig mindig valaminek a különbözősége. Ezért értelmünktől függetlenül nincs például “öt” forma, hanem mindig csak olyan forma, amely tartalmazza azt is, hogy mi az, ami öt.

Összefoglalva tehát megállapíthatjuk, hogy az aritmetika legalapvetőbb tárgyai, a természetes számok értelmünk létezői, ez a létezés azonban nem értelmünk önkényes, valóságtól független tevékenységének az eredménye. Kronecker német matematikus mondása szerint “a természetes számokat Isten alkotta, a többi már emberi alkotás”. Amint láttuk, még a természetes számok is az emberi értelem alkotásai, amelyek azonban nem függetlenek Isten alkotásától, az anyagi világtól. A matematikusokat azonban néha megdöbbenti az a rejtélyesség, titokzatosság, amely például a természetes számok körében is található. A matematikának egy igen régi, de máig számos megoldatlan problémát tartalmazó ága az elsősorban a természetes számokkal foglalkozó számelmélet. A prímeknek nevezett természetes számok az egyen és önmagukon kívül más osztót nem tartalmaznak. Ilyen számok a 2, 3, 5, 7, 11 stb. Sok megválaszolatlan kérdés merült fel a prímekkel kapcsolatban. Így például Eukleidész vetette fel azt a kérdést, hogy van-e végtelen sok ikerprím. Ikerprímnek nevezünk két olyan prímet, amelyek között csak egy (páros) szám található. Ikerprím például a 3 és 5, az 5 és 7, a 11 és 13, az 1997 és 1999. Az Eukleidész által feltett kérdés máig megválaszolatlan. Többek között ez és az ezekhez hasonló problémák hatására gondolja azt több (platonistának nevezett) matematikus, hogy például a prímek embertől függetlenül létező valamik, amelyeknek a tulajdonságait a matematikus csak felfedezi.

Valójában azonban arról van szó, hogy megismerésünk bizonyos irányába haladva egyre általánosabb, de ezzel egyúttal egyre létben szegényebb formákhoz jutunk. Ezek a formák sok más formába beépülhetnek, ezekben az anyagi létezők igen általános építőköveiről van szó. Ilyenek például a mai ismereteink szerinti elemi részecskék: proton, neutron, elektron stb. Értelmünk azonban soha nem tud megállni egyetlen ilyen formánál sem, nem tudja ezeket abszolút végső formáknak tekinteni, hanem még elemibb formákat keres. A létezésben való szegénység miatt ezeket a formákat egyre inkább a mennyiség határozza meg, ezen formák tartalma már csak néhány, mennyiséggel egyértelműen leírható tulajdonság. Ilyen tulajdonságok például az elemi részecskék tömege, a töltése vagy a rejtélyes, perdületnek, spin-nek nevezett tulajdonsága. Azonban ezek a formák sem tekinthetők végső formáknak, az ezekben előforduló mennyiségek is mindig valaminek a mennyiségei. Értelmünk tehát nem képes az anyagban a végső, további formákra már nem utaló formákat megtalálni. Ehelyett viszont képes olyan formákat kialakítani, amelyek tisztán már nem találhatóak meg az anyagban, de valamilyen értelemben ezek tekinthetők azoknak a végső formáknak, amelyekre az anyagban lévő formák utalnak. Ezek a formák azonban már csak az értelemben léteznek. Miért van ez így? Ennek oka az emberi értelemnek az a sajátsága, hogy az anyagvilág megismerésében nem Isten teremtő eszméiből indul ki, hanem az anyagi természetű érzékelésből. (Erről az előző megjegyzésben volt szó.) Ennek a megismerésnek a korlátozottságát mutatja, hogy ez nem képes az anyagvilág “mélységét” átlátni, hanem ennek a megismerésében egyre elemibb formák soha véget nem érő sorozatán keresztül halad. A matematikai absztrakció azonban valamilyen értelemben meghaladja ezt a fajta megismerést, ez eljut valamilyen értelemben végsőnek tekinthető formákhoz, de ezek már nem az anyag formái. Így nem is annyira meglepő, hogy ezen formák teljes tartalmának megismerésében, felfedezésében az ember a matematikai megismerés már anyagtól elszakadt sok-sok lépésén keresztül folyamatosan halad előre.

A következő, témát záró bejegyzésben a matematika másik ősi ágáról, a geometriáról is lesz szó.

Még mielőtt a további részletekbe mennénk, a tiszta matematika objektumainak ontológiai helyzetére vonatkozó kérdésekre már általánosságban válaszolhatunk. Van-e ezeknek az objektumoknak értelmünktől független, valós léte? A platonista állásponttal ellentétben a válasz nemleges. Ezek az objektumok csak értelmünk létezői, de eredetükben nem függetlenek az anyagi valóságtól: entia rationis cum fundamento in re. Az ember-forma valóságban létező forma, amely ugyan fizikailag nem választható el a konkrétan létező embertől, mert ez a forma önállóan, konkrét emberektől függetlenül nem létezik, metafizikailag mégis valóságos különbség van ezen forma és az általa megformált anyag vagy ezen forma és a konkrét ember között. A matematikai formákról azonban semmilyen értelmünktől független, valóságos létezés nem állítható. Amikor azonban értelmünk ezeket a formákat létrehozza, halvány visszfényként tükrözi az isteni értelmet, amely a teremtésben azáltal is megmutatkozik, hogy az anyagi világ olyan formákra utal, amelyek tisztán már csak az értelem formái lehetnek. Ebből ered a platonizmus különleges vonzódása a matematika, a matematika világa felé. A platonizmus ezt a világot egy tökéletes, ideális világnak tekinti, amelyben az anyagi világ “részesedik”. A tomista álláspont szerint ez a világ önálló valóságként nem létezik, ez a világ értelmünk világa, amely azonban utal a végtelen isteni értelemre, amely a teremtésben megmutatkozik.

Felmerülhet a kérdés, hogy miért van az, hogy anyagi világunk megértésében értelmünk által létrehozott olyan formákra is szorulunk, amelyek már nem az anyagban létező formák, amelyekhez csak “konvergálnak” az anyagban létező formák. A magyarázat az emberi értelem gyengeségében keresendő. A tomista álláspont szerint minden értelmek leggyengébbike az emberi értelem. A tisztán szellemi megismerésben az anyagi világ nem érzékszervek adatainak a közvetítésével jelenik meg. Az isteni megismerésben a teremtett világ ismerete a teremtés örök eszméinek ismeretét jelenti, ezek azonban nem különböznek Isten önismeretétől.  Az angyali ismeret esetében is a teremtés eszméiről van szó, amelyek az angyal Istenről való ismeretében foglaltatnak. Az tisztán szellemi megismerésben tehát az anyagi világ elválaszthatatlan a teremtéstől. Az anyagi világ végső és teljes értelmét a teremtésből nyeri. Az emberi megismerés kiindulópontja azonban ugyanaz, mint a szellemi öntudattal nem rendelkező állati megismerés kiindulópontja: az érzékelés. A teremtett világ viszont a maga teljességében csak Isten teremtő tette felől érthető meg. Az emberi értelem azonban nem ebből a szempontból nézi a világot. A teremtő tettig csak az elegendő magyarázat, ok elvén keresztül jutunk el, de az így szerzett ismeret is inkább csak ezen tett létére utal és nem hogyanjára, mivoltára. Ezért az anyagi világban élő ember a teremtés szempontjából “kívülről” szemléli a világot. Ez az oka annak, hogy ennek valamilyen megértése felé haladva bizonyos formákat az anyagi világtól elválasztva, csak szellemileg, értelmileg létező formaként felfogva képes értelmezni a világot. Azt jelenti ez, hogy az emberi értelem, önmagától, mindent megelőzően, a priori hozza létre ezeket a formákat? Nem erről van szó, mert az absztrakció alapján az érzékszervi adatokból kiemelt formák alapján alakulnak ki ezek a formák, amelyek a maguk tisztaságában már közvetlenül nem találhatóak meg anyagban létező formaként. Ezek a formák tehát nem “légből kapott” formák.

A matematika tárgyai tehát értelmünk konstrukciói, amelyhez a kiinduló “anyagot” végső soron érzékszerveink szállítják. Azonban ezek a tárgyak, mint önálló konstrukciók, ismét tárgyai lehetnek értelmünk megismerő tevékenységének. Ez a megismerés azonban már nem érzékszerveink adataiból indul ki. A skolasztikus terminológia különbséget tesz értelmünk két irányultsága között. Prima intentio-nak nevezték értelmünknek a tőlünk független anyagi világ felé forduló tevékenységét, secunda intentio-nak pedig azt, amikor értelmünk a saját maga által konstruált tárgyak felé fordul. A kétféle megismerés tárgyai jellegükben jelentős mértékben különböznek. A valóságos, anyagi világot az állandó változás jellemzi, ezért az erre vonatkozó ismereteknek is tükrözniük kell ezt: amennyiben ezek az ismeretek igazak, meg kell felelniük az anyagi valóságnak. Ez azt jelenti, hogy ezen megismerésünkben a szigorú értelemben vett dedukciónak, az analitikus megismerésnek csak korlátozott szerepe lehet. A dedukció, a logikai következtetés tipikusan az emberi megismerés eszköze: értelmünk nem képes a megismert tartalmakat egyszerre átlátni, hanem lépésről-lépésre halad. A dedukcióban ez úgy mutatkozik meg, hogy a kiinduló állítások összes (vagy néhány) következménye csak a következtetés lépéseinek kitartó és helyes alkalmazása folyamán válik számunkra ismeretté. Minthogy a matematika tárgyai mentesek az anyag jellegzetességeitől, ezért ezek nem változnak, időtlenek. Így a matematika tételei időtől független, örök igazságokat fejeznek ki. Ez is indokolja a filozófus különös vonzódását a matematika tudománya felé. A secunda intentio eredményeit tehát bizonyos értelemben jellemzi a változatlanság, az időtől való függetlenség. A prima intentio-val kapcsolatban ez már nem mindig állítható. A meteorológus következtetései, számításai semmit sem érnek, ha ezek adatai egy évvel ezelőttről származnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a prima intentio eredményei nem lehetnek időtől független igazságok, de ezzel a kérdéssel most nem foglalkozunk.

A matematika világát tehát az időtlenség, a változatlanság és emiatt a tiszta dedukció jellemzi. Egyik régebbi bejegyzésünkben szó volt az emberi megismerés két fázisáról. Ezek a fázisok nem egymástól független fázisok, hanem egymásra épülnek, az emberi megismerés folyamatában egymást követően ismétlődnek. Az első fázisra jellemző tulajdonképpen az absztrakció, ennek a fázisnak az eredménye a fogalom, amely még állításokban, ítéletekben nem kifejezett ismeret. Az emberi megismerés teljességét, csúcspontját azonban akkor éri el, amikor az ismeret állításokban, ítéletekben fejeződik ki. Ehhez a fázishoz szorosan kapcsolódik a logikai következtetés, a dedukció művelete, amelynek segítségével igaz állításokból, ítéletekből újabb igaz állításokhoz, ítéletekhez juthatunk. A matematikára különösen jellemző ez az eljárás, a matematikai tevékenység jelentős része abban áll, hogy már ismert, elfogadott állításokból újabb állításokhoz, tételekhez jutunk bizonyítások által. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a secunda intentio és így a matematika csak ezekre szorítkozik, de erről majd később lesz szó. A következő bejegyzésben először részletesebben megvizsgáljuk a matematika két ősi ágának, az aritmetikának és geometriának tárgyait.

A tapasztalati világban létező formák világában felfedezhető bizonyos hierarchia. (Erről egy régebbi bejegyzésben is volt szó.) A hierarchia tetején a lényegadó formák (forma substantialis) vannak. Ezek a formák biztosítják a létezőnek az önálló létezésben megvalósuló egységét. Más formák viszont nem önálló létezést jelölő formák, hanem járulékos (akcidentális formák). Ezek a formák csak a másban való létezés formái. Így a kékség mint forma mindig valamilyen dolog kékségének a formája. Az önálló létező különböző részei ugyancsak a létező lényegadó formájától különböző formáknak tekinthetők. Így például a szív, a tüdő, a csontok formái nem azonosak az ember formájával, de ezek még sem önálló formaként léteznek, hanem beépülő formák. Az ember testét alkotó molekulák formája is a testbe való beépüléskor elveszíti önállóságát, lényegadó formaságát. Ez nem jelenti azt, hogy a molekulaságból következő tulajdonságok formái megszűnnének, ezek jelen vannak, de nem mint egy önálló molekula járulékos formái, hanem mint az emberi test egy részének formái. A tomista álláspont szerint ugyanazon létezőnek csak egyetlen lényegadó formája lehet, mert a létező egysége csak így biztosítható. A természettudományok vizsgálják az egyes formák és az ezek alatt lévő formák közti összefüggéseket. Jogos törekvése ezeknek a tudományoknak megvilágítani azt, hogy az alacsonyabb szint formáit, mint lehetőségeket, hogyan formálja meg a magasabb szintű forma. Így az orvostudomány vizsgálja azt, hogy az ember élete hogyan függ a szervek, a sejtek, az ezeket alkotó molekulák stb. sajátosságaitól. A természettudományoknak azonban nagy kísértése az úgynevezett redukcionizmus, amely a magasabb szintű formák teljes megértését az egyre alacsonyabb szintű formákra való visszavezetéstől reméli, jóllehet a magasabb szintű formák soha nem oldhatóak fel teljesen az alacsonyabb szintű formákra való visszavezetés által. Így a hierarchia tetején lévő lényegadó forma sem egyenlő az alacsonyabb szintű formákból adódó lehetőségek megformálásával, hanem ez közvetlenül formálja meg a formákat teljesen nélkülöző elsődleges anyagot (materia prima), amely önmagában, forma nélkül csak lehetőségként létezik. Az anyaggal a tényleges létezésben mindig csak valamilyen forma által megformálva találkozunk. Az elsődleges anyag valóságos része annak a metafizikai összetételnek, amelyben ez a lényegadó formával együtt adja meg  egy dolog lényegét, azt ami a dolgot azzá teszi, ami. A lényegadó forma sem létezik önállóan, ez csak anyagot megformáló formaként létezik. A tomisták az anyagot tulajdonítják az egyediség elvének (principium individuationis). Az elsődleges anyagból és a lényegadó formából való összetettségben a forma utal arra, ami például minden emberben közös. Ezért ez nem lehet az ember térben és időben való konkrétságának, egyediségének az elve. Az egyediség annak az anyagnak köszönhető, amelynek bármilyen megformáltsága esetén, a megformált létező rendelkezik a mennyiség (quantitas) tulajdonságával. Ennek következtében a megformált anyag mennyiséggel megjelölt anyag (materia quantitate signata) lesz. A mennyiség, a kiterjedés adja meg a lehetőséget arra, hogy az anyagban olyan részek, darabok legyenek, amelyek nem egyeznek meg egymással és így a megformáltság az anyagnak egy konkrét darabjára vonatkozzék. A mennyiséget nem úgy kell elképzelnünk, hogy ez az anyagnak egy olyan önálló formája lenne, amely alapjául szolgálna a lényegadó formával való megformáltságnak. Mindössze csak arról van szó, hogy az anyagnak nincs olyan megformáltsága, amelyben a megformált anyag nem rendelkezik a mennyiség, kiterjedés tulajdonságával. Ezzel tulajdonképpen meg is érkeztünk a tapasztalható dolgok nélkülözhetetlen tulajdonságához, a mennyiséghez, amely jelenthet számosságot, de jelentheti a különböző mértékek által meghatározott alakzatokat is.  A matematika tárgyainak valóságbeli alapja a tapasztalható világ dolgainak ez a nélkülözhetetlen, alapvető tulajdonsága. A mennyiség annyira nélkülözhetetlen tulajdonság, hogy minden más tulajdonság feltételezi ezt. Így például, ha színről van szó, mindig egy mennyiségekkel leírható felület színéről beszélünk. Az az absztrakció, amellyel a matematika elsődleges objektumaihoz jutunk, a tomista ismeretelmélet háromféle absztrakciójának az egyike. Egy régebbi bejegyzés már röviden foglalkozott ezekkel az absztrakciókkal.

Amint arról az előző bejegyzésben szó volt, az absztrakció tulajdonképpen a megismerésnek az a folyamata, amelyben értelmünk kiemeli az anyagi valóságot megformáló formákat és ezáltal ezek ismeretként értelmünk formái lesznek. Az emberi megismerés érzékszervekhez kötöttsége miatt az ember nem képes az összes formát egyetlen megismerési aktussal felfogni. Az érzékszervek konkréthoz, egyedihez kötöttsége miatt csak a sokaságot érzékeljük. A formák által megvalósított egység felismeréséhez arra van szükség, hogy “kiszabaduljunk” az érzékelés konkrétságából. Ezt a “kiszabadulást” megvilágíthatja az a mód, ahogyan egy képet, fényképet, festményt nézünk. Ha erős nagyításban, közel a képhez csak a részleteket nézzük, akkor a kép igazi “formája” nem lesz felismerhető számunkra. A részletektől el kell vonatkoztatnunk, a képtől bizonyos távolságra kell kerülnünk ahhoz, hogy az egész “formát” felfogjuk. A távolság következtében már nem látjuk azokat a részleteket, amelyek elvonnák figyelmünket az egész kép “formájától”. Az absztrakcióban is valami hasonló történik, ebben is megfelelő “távolságra” kell kerülnünk a konkrét érzékeléstől. Ezt a “távolságot” azonban nem térbeli eltávolodás által nyerjük, hanem az által, hogy értelmünk elhagyja az érzékelés konkrétságát, egyediségét annak érdekében, hogy felismerje, megértse az érzéki adatokban lévő, egységet megjelenítő formát. Ezután a lépés után már vissza lehet térni az egyedihez, de ez a visszatérés az egyedit már nem csak érzékszervi adatok összességének tekinti, hanem a megértett forma hordozójának, például embernek. Az első absztrakciós fokozatban elvonatkoztatunk az anyagi dolgokban jelenségekben tapasztalható egyediségtől, de nem vonatkoztatunk el attól, hogy ezek a dolgok, jelenségek anyagiak. Így jutunk el az ismeretek, a tudomány azon területéhez, amelyet a Physica szóval jelölhetünk. Anélkül, hogy részletekbe mennénk, megemlítjük, hogy ez a terület mintegy legfelsőbb szinten a természetfilozófiát, a philosophia naturalis-t foglalja magában és ennek csupán egy része, a mai értelemben vett fizika. Ezen terület ismereteire jellemző, hogy az anyagi világból erednek, és az anyagiság nem zárható ki ezen ismeretekből. Így az ember fogalma értelmetlen, hibás az anyagiság feltételezése nélkül, hiszen ember anyag nélkül nem létezhet (itt a földön).

Témánk szempontjából az absztrakció második fokozata az érdekes. Ebben a fokozatban jutunk el a matematikai mennyiségek és alakzatok fogalmaihoz. Ezek a fogalmak is az anyagi valóságból származnak, de a matematikai fogalmak érthetőségének már nem feltétele az, hogy ezek az anyagiság valamilyen jegyét is hordozzák. Egy háromszög, egy prímszám elképzeléséhez, “megértéséhez” már nincs szükség semmilyen anyagra. A következő bejegyzésben tovább vizsgáljuk ezt az absztrakciót, de a teljesség kedvéért megemlítjük még az absztrakció harmadik fokozatát, a metafizikai absztrakciót is. Az absztrakciónak ebben a fokozatában ismereteink a létezőre irányulnak. A létezés vizsgálatához nem szükséges anyagi jegyeket feltételezni, de azt sem kell feltételezni, hogy a létezés csak anyagi eredetű lehet.

Az absztrakció tomista fogalmának megvilágításához az absztrakció egy “modernebb” változatából, a szoftverfejlesztés folyamán használt absztrakcióból indulunk ki. (Egy korábbi megjegyzésünkben már használtunk a szoftverfejlesztés területéről vett analógiát.) Közismert, hogy a számítógépes programok nagyon egyszerű (szinte primitívnek mondható), számítógépek által közvetlenül végrehajtható utasítások, úgynevezett gépi kódú utasítások ezreiből,  millióiból állnak. Ezekből a primitív utasításokból a bonyolult programok (ilyen például a Microsoft Office) közvetlen felépítése rendkívül nehézkes, hibák elkövetésének erősen kitett, hosszú folyamat. Ráadásul a különböző számítógépek különböző elemi utasításokkal rendelkezhetnek. A szoftverfejlesztésben hamar rájöttek arra, hogy egy konkrét szoftverobjektum esetében el lehet választani azt, hogy valamilyen magasabb szinten az objektumnak mi a feladata, attól, hogy ez az objektum hogyan oldja meg ezt a feladatot. Ez a szétválasztás azt eredményezte, hogy a fizikailag ténylegesen létező hardver szintje fölött megjelentek olyan szintek, amelyek fizikailag a szó szoros értelmében nem létező szintek, mert ezek nem az egyes feladatokat megvalósító konkrét utasítások szintjei, hanem maguknak a feladatoknak ezektől ezektől elválasztott, elvonatkoztatott szintjei. Ezek a szintek sokszor az úgynevezett magas szintű nyelveken íródnak le. Ilyen nyelvek például a Java, a C, a C++ stb,  de még az a HTML nyelv is ilyennek tekinthető, amely nyelvű szövegbe ez a szöveg is, amelyet most írok,  beágyazódik annak érdekében, hogy a böngészők megfelelő formában jeleníthessék ezt meg. Az absztrakció szoftverfejlesztésben való intenzív használata azonban nem csak a magasszintű nyelvek használatában jelenik meg, hanem a szoftver megtervezésében is. A jó szoftvertervező absztrakciókat, absztrakciós szinteket használ. Ezek a szintek először és elsősorban a tervező fejében (és a szoftver dokumentációjában) léteznek, magában a gépi kódú programban (amely végső soron 0 és 1 számjegyek, bitek sorozata) nem feltétlenül ismerhetőek fel, mégis a program a szoftvertervező absztrakcióit, koncepcióit valósítja meg.

A szoftverfejlesztés szempontjából különösen érdekesek azok a fordítóprogramok, amelyek bemenete például a fentiekben említett, magas szintű nyelveken írt valamilyen program, kimenete pedig a gépi kódú utasításokból álló program. A fordítóprogram is szoftver, ennek a tervezését is célszerű absztrakciós szintek kialakításával tervezni. Az absztrakciós szintek megfeleltethetők a bemenő szöveg szerkezetének. Legalacsonyabb szinten ez a szerkezet bitek sorozatának tekinthető. A következő szint a betűk, számjegyek, jelek, karakterek szintje. Az egyes karaktereknek bitek adott sorozata felel meg. Így például az egyik kódrendszerben (ASCII) az “a” betűnek a “00111101″ sorozat felel meg. A bitsorozat szintje fölött van tehát a karakterek szintje, amelyet a bitsorozatból kiemelt karakterek sorozata jelenít meg. A karakterek sorozatából emelődik ki a magasabb szintaktikai egységek (például szavak, számok, műveleti és egyéb jelek) sorozata. A következő szint az előbbi szint objektumainak sorozatából “kivonja, absztrahálja” az utasításokat, majd a legfelső szint a teljes program szintje. Azt látjuk tehát, hogy a bitek sorozatából a fordítóprogram saját maga számára érthető struktúrákat, formákat emel ki, és ezen struktúrák, formák alapján újabb struktúrákat, formákat ismer fel. Az egyes absztrakciók mögött valaminek az elhagyása van. Az utasítások szintjén például nem foglalkozunk a bitekkel, a karakterekkel, itt csak a közvetlenül ez alatt lévő szintből “emeljük ki” az utasításokat. Ez a kiemelés, elhagyás annyira valóságos, hogy a kiemelt struktúra szempontjából az sem fontos már, hogy az alsóbb, közvetlenül nem érintett szintek mire vonatkoznak. Ha például a gépünk valamilyen optikai olvasóval rendelkezne és felismerné az írott karaktereket, akkor bitsorozatok nélkül is ugyanolyan struktúrákhoz, formákhoz jutnánk.

A fenti, szoftverfejlesztésből vett analógia segítségével próbáljuk megvilágítani azt a tomista megállapítást, hogy az értelem az absztrakció által jut el a szellemi megismerés tárgyáig az intelligibile-ig. Egyik bejegyzésben szó volt az anyagi létezők elsődleges anyagból és lényegadó formából való összetettségéről. A forma és a megformált valami összetettségét analógiaként szemléltetheti egy program forrásnyelvi szövege. Ez a szöveg végső soron bitek sorozata, mégis ebben a sorozatban benne van formaként egy program. A program a sorozatot információ hordozójává teszi, a bitsorozatot mintegy programszöveggé “formálja”. A program formaként az egész bitsorozatot megformálja, ugyanakkor alacsonyabb szintű formák (karaktereknek, magasabb rendű szintaktikai egységeknek, szerkezeteknek a formái) is megformálják a bitsorozat egyes részsorozatait. A teljes program egyrészt a teljes bitsorozatot megformálja, másrészt az alacsonyabb szintaktikai szerkezetek sorozatai ennek szempontjából ugyancsak megformált valaminek tekinthetők.

A fenti modell azonban az anyagi világ valóságához képest nagyon külsődleges modell. Az említett formák külsődleges formák, csak külsőleg kapcsolódnak a bitek sorozatához, amelyek ugyancsak megformált dolgok. Ennek a külsődleges kapcsolódásnak az alapja a szoftverfejlesztők értelmezése, az általuk készített fordítóprogramok és egyéb programok. A tomista értelmezés szerint a megformált valami (a megformálás előtt) lehetőségként, képességként (potentia-ként) viszonylik az őt megformáló formához, amely az az aktualitás, amelyet a lehetőség befogad, amely által ez a lehetőség ténylegességgé, “megfoghatóvá” válik. A világban tapasztalható dolgok ténylegességek. A lehetőség ténylegesség nélkül csak lehetőségi, nem pedig valósan megtapasztalható létezés. Közvetlenül csak a ténylegesen létezőt tudjuk megismerni, csak ez képes érzékszerveinkre hatni. A ténylegességet viszont a formák adják, ezért megismerésünk igazi tárgya, az értelmünk által felfogható, az intelligibile mindig valamilyen forma. Az anyagi világ ténylegességét, megismerhetőségét tehát a formák adják. Ezek a formák nemcsak az anyagot, az anyagi világ lehetőségeit formálják meg, hanem az anyagi világ megismerésének folyamatában értelmünk formáivá is válnak, mintegy értelmünket formálják meg ismeretként. Így ugyanaz a forma egyrészt a tapasztalati világban létező, anyagot, anyagi lehetőséget megformáló forma, másrészt azonban az értelmünkben meglévő lehetőséget (ezt lehetőség szerinti értelemnek, intellectus possibilis-nek nevezik a skolasztikusok) is megformáló forma. A kétfajta létezés alapvetően különbözik egymástól, az egyik a forma anyagban való, anyagot megformáló létezése, a másik létezés az a szellemi létezés, amelyben az ismeret az értelem egy minőségeként, állapotaként létezik. Az ismeret nem a külső világban megformált valaminek az értelembe történő átvitele által keletkezik, hanem ez az úgynevezett cselekvő értelem, intellectus agens tevékenységének az eredménye. Az intellectus agens az érzéki megismerés adataiból kiemeli a formát és ezt  az intellectus possibilis (egy minőségének) a formájává teszi. A szó legáltalánosabb értelmében ezt a folyamatot nevezhetjük absztrakciónak, elvonásnak. Ez a folyamat a forma eredeti környezetéből történő kiemelését és a szellemi környezetben lévő érthetővé, ismeretté válását eredményezi. Az eredeti környezet az a tapasztalható világ, amelyben a dolgok, a történések mindig egyediek, adott helyen és időben vannak. Szellemi ismereteink ugyanakkor bizonyos állandóságról, bizonyos időtől és helytől független érvényességről tanúskodnak. Ez azonban nem azt jelenti, hogy szellemi ismereteink a megértés valamilyen független világát alkotják. Ezek mindig valamilyen közvetlen vagy közvetett vonatkozásban vannak azzal a világgal, ahonnan származnak. Ez világ pedig a konkrét tapasztalható dolgok világa. Ezt a világot szellemi természetű ismereteink által értjük meg.

A következő bejegyzésben az absztrakció fajtáiról, folyamatáról lesz szó. A matematikai ismeretekhez az absztrakció egyik fajtája vezet el.