A matematika köztudatban ismert két ágának egyike az aritmetika, a számokkal foglalkozó ág. A másik ág a geometria, amely a térbeli alakzatokkal foglalkozik. A 17. század folyamán, elsősorban a fizika hatására alakult ki a matematikának az az ága, amely a függvények változásával és a változások eredményeinek az összegezésével foglalkozik. A matematikának ez az ága, az analízis a differenciálszámítás felfedezésével kezdődött. A differenciálhányados megadja a függvény változásának mértékét egy adott helyen és így ez kiválóan alkalmazható a térbeli változás, a szoros értelemben vett mozgás leírása. A térbeli mozgás sebessége a távolság változásának mértéke, magának a sebesség változásának a mértéke pedig a gyorsulás. Ezek a mértékek megadhatók differenciálhányadosként és így szerepelnek a fizikai törvények matematikai leírásaiban. A pillanatnyi változást leíró matematikai eszköz, a differenciálszámítás párja az integrálszámítás, amely viszont nem a pillanatra jellemző mennyiségekkel, hanem a pillanatokból összeálló intervallumokra jellemző, összegezett mennyiségekkel foglalkozik. A 19. és 20. század folyamán azonban megjelentek a matematikának olyan ágai is, amelyeknek már semmilyen közvetlen kapcsolata nincs a számokkal, mennyiségekkel, térbeli alakzatokkal. Az absztrakt algebra például már nem aritmetikai vagy geometriai objektumokkal foglalkozik. Ezek az objektumok semmilyen tulajdonsággal nem rendelkeznek azon kívül, hogy köztük valamilyen műveleteket lehet végezni, amely műveleteknek vannak bizonyos tulajdonságai. Ezek a tulajdonságok néha emlékeztetnek a számok aritmetikában megszokott tulajdonságaira (sokszor ezek voltak a kindulásai az ezektől már elszakadó általánosításoknak). Az absztrakt algebra talán legfontosabb ágában, a csoportelméletben definiált műveleti tulajdonságok például emlékeztetnek az egész számok (negatív egész számok, nulla, pozitív egész számok) közti összeadás műveleti tulajdonságaira. Ezeknek a tulajdonságoknak azonban nem ez az egyetlen “realizációja”, a csoportelmélet nélkülözhetetlenné vált a matematika és a fizika sok területén.
Maga a számfogalom is nagy fejlődésen ment keresztül. A pozitív egész számok (1, 2, 3 …) beágyazódnak a negatív egész számokat és a nullát is tartalmazó tágabb számkörbe. Ez ismét beágyazódik az osztás műveletének eredményeként kapott törtszámokat is tartalmazó tágabb körbe, a racionális számok körébe. Ez ismét beágyazódik a valós számok körébe, amely már például tartalmazza a hányadosként nem előállítható, pozitív számokból vont négyzetgyököket is. (Ilyen szám például kettő négyzetgyöke, tehát az a szám, amely önmagával megszorozva kettőt ad). De ez még nem az utolsó lépés a számok körének bővítésében. A bővítés következő lépésében számnak tekintjük például a negatív számok négyzetgyökeit is. (A -1 négyzetgyökét például az i betűvel jelölik és az ilyen számokat képzetes, imaginárius számoknak nevezik). A képzetes és valós számokat, továbbá az ezekből összetett számokat tartalmazó számkört a komplex számok körének nevezik. Tapasztalható világunkban semmilyen, képzetes számokra emlékeztető mozzanattal nem találkozunk. A valós számok közül többet még kapcsolatba hozhatunk tapasztalati világunkkal. Így például egy egységnyi hosszú oldalakkal rendelkező asztal lapja átlójának a hossza kettő négyzetgyökének tekinthető. A komplex számok matematikáját használó számítások, levezetések azonban nélkülözhetetlenek például a fizikában.
Egy másik megnyilvánulása a matematika “tapasztalati valóságtól való elszakadásának” a háromnál magasabb dimenziójú terek tanulmányozása. Érdekes módon az ilyen területek is megjelennek a tapasztalati világ leírására irányuló matematikai levezetésekben. A kísérletileg igazolt relativitás-elméletekben például a tér megszokott három dimenziójához hasonló dimenzióként van kezelve az idő is, az elméletek matematikai leírására ilyen, négydimenziós tereket használnak. A kísérletileg igazolatlan fizikai húr-elméletek már “bővebben bánnak” a dimenziók számával, feltételezéseik szerint szerint a tér lehet akár kilenc vagy ennél több dimenziós is. Fontos azonban megjegyezni, hogy a matematika sokdimenziós terei nem valamilyen fizikai tapasztalat alapján születtek, ezek teljesen a matematika “termékei”, amelyek később nyertek fizikai alkalmazást.
A matematikai objektumainak a fentiekben csak vázlatosan, a teljesség igénye nélkül leírt “bősége” láttán, joggal vetődik fel a kérdés, hogy honnan vannak ezek az objektumok. Mi ezeknek az objektumoknak az ontológiai helyzete? Kitaláljuk-e ezeket vagy felfedezzük? A fenti kérdéseket még ki lehet egészíteni azokkal a kérdésekkel, amelyek a matematika és a tapasztalati világ összhangjára vonatkoznak, amely összhangra a fentiekben is utaltunk. A fenti (és egyéb) kérdések megválaszolásával kapcsolatban alakult ki a matematika filozófiai vonatkozásainak a tanulmányozása. A fenti kérdések mellet még olyan kérdések is megjelentek, amelyek a matematikai módszerek más tudományok által irigyelt egzaktságára, konzisztenciájára vonatkoznak. Ezekkel kapcsolatban Kurt Gödel felfedezései ébresztettek kételyeket. Gödel első nemteljességi tétele szerint bizonyos matematikai elméletekben (formális rendszerekben) van olyan tétel, amelynek sem állítása, sem tagadása nem bizonyítható. Itt tehát a matematikai tétel igazsága és bizonyíthatósága közti kapcsolat meglazulásáról van szó. A második nemteljességi tétel arra is rámutat, hogy a matematika bizonyos elméletei esetében nem tudjuk az elmélet eszközeivel megmutatni, hogy a rendszerben nincs olyan tétel, amely bizonyítható, de ennek a tagadása is bizonyítható. Más szóval a rendszer konzisztenciája, ellentmondásoktól való mentessége kérdésének a megválaszolására csak a rendszeren kívül van lehetőség.
A továbbiakban elsősorban nem Gödel tételeivel, hanem a matematika ismeretek eredetével foglalkozunk, tehát azzal a kérdéssel, hogy honnan veszi a matematika a tárgyait. Ezek a kérdések a matematika területén belül nem válaszolhatóak meg. Természetesen eredményesen lehet foglalkozni a matematikával anélkül is, hogy a fenti kérdésekre megpróbálnánk választ adni. Sőt még az is lehetséges, hogy a válasz megkerülését filozófiai jellegű álláspontként fogalmazzuk meg. Ilyen álláspont volt David Hilbert által megfogalmazott formalizmus álláspontja. Ez az álláspont zárójelbe tette a matematikai tételek jelentését, célként tűzte ki a matematika teljes formalizálását. Egy adott terület axiómáit, meghatározásait formulák, jelek segítségével megfogalmazhatjuk. Ugyanígy megadhatjuk azokat a szabályokat is, amelyek segítségével a meghatározások alapján tételeket fogalmazhatunk meg. Az axiómákból való levezetés, bizonyítás azt a folyamatot jelenti, amelyben az axiómák megfogalmazását megfelelő szabályok segítségével “átalakítjuk” és ezen lépések folyamán eljutunk a tételhez (vagy tagadásához). A tételek axiómákból való levezetésének, bizonyításának menete ugyancsak formalizálható. Gödel előbb említett tételei azonban csapást mértek a formalizmus eredeti elképzelésére, mert kimutatták azt, hogy bizonyos matematikai elméletek esetében egyrészt a formalizmust alkalmazva megfogalmazhatunk olyan tételeket, amelyekkel kapcsolatban elvileg leheteletlen olyan levezetést adni, amelynek eredménye akár a tétel, akár ennek tagadása. Másrészt Gödel azt is megmutatta, hogy bizonyos formális elméletek esetében az elmélet eszközeivel még azt sem tudjuk igazolni, hogy a rendszer konzisztens-e.
Láttuk tehát, hogy a matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatos eredeti kérdésnek a szigorúan értelemben vett formalista megközelítés alapján történő félretétele problémákkal jár. A matematika tárgyainak ontológiai helyzetével kapcsolatos kérdésekre adott válaszok rokonságot mutatnak a középkori skolasztika egyik nagy filozófiai vitájában az univerzálékkal kapcsolatos kérdésekre adott válaszokkal. Ez a vita arról szólt, hogy mi alapján állítunk egyetemes dolgokat az individuumokról. Mi alapján mondjuk azt, hogy X ember, hogy Y ember. Létezik-e az individuumoktól függetlenül, az individuumokat megelőzőn az, amire az “ember” szó utal? Vagy ennek a szónak nincs ilyen jelentése, mert ez csak az individuumok egy bizonyos halmazának jelölésére szolgál, minden további ontológiai alap, jelentés nélkül? A kérdést úgy is fel lehet tenni, hogy mi az olyan általános fogalmaknak, mint amilyen például az emberség, az ontológiai helyzete. Van-e önállóan létező emberség a valóságban is, vagy ez csak értelmünk, nyelvünk konstrukciója, amely az individuumok egy csoportjának a jelölésére szolgál. Hasonló kérdés tehető fel matematikai fogalmainkkal, a matematika objektumaival kapcsolatban is. Az univerzálék kérdésével kapcsolatos szélsőséges válaszok, a platonista realizmus válaszai (universale ante rem, azaz az univerzálék már a dolgok előtt, azoktól függetlenül léteznek) és a nominalizmus válaszai (universale post rem, azaz az univerzálék a dolgok után, csak értelmünkben léteznek) megjelennek a matematika filozófiájában is. A tomizmus által is képviselt mérsékelt realizmus (universale in re, azaz az univerzálék nem a dolgok előtt, nem a dolgoktól függetlenül léteznek, hanem a dolgokban) álláspontja hasznos lenne a matematika filozófiájában is. A tomista tudományelmélet kijelöli a matematika helyét a tudományok rendszerében, de viszonylag kevéssé van képviselve a matematika filozófiájának utóbbi fejleményeiben. A következő bejegyzésben a matematika tárgyai eredetének kérdését a tomizmus szempontjából próbáljuk vizsgálni, természetesen most is a teljesség igénye nélkül.